論理と集合要約 NO.4

第 4 回目の主題 : 集合の和集合や共通部分

まずは論理の復習

問題 4.1. ∀x > 0(∃y ∈ ℝ(x > y > 0)) は真だろうか、偽だろうか。理由をつけて述べなさい。問題 4.2. ∃y > 0(∀x ∈ ℝ(x > y > 0)) は真だろうか、偽だろうか。理由をつけて述べなさい。

論理復習ここまで

集合の関係を論理で述べることもよくある。

問題 4.3.

∀x ∈ 5ℤにたいして(x ∈ 3ℤ) がなりたつ

は正しいだろうか?

集合と論理とは裏腹の関係にあるのであった。論理の ∀ や ∃ に対応する集合論的な概念も存在する。

定義 4.1. 正の整数の全体 ℤ_{>0} の一つ一つの元 n に対して集合 S_{n} が与えられているとき、集合の列 {S_{n}}_{n=1}^{∞} が与えられているという。

同様に、集合 Λ の一つ一つの元 λ に対して集合 S_{λ} が与えられたとき、集合の族 {S_{λ}}_{λΛ} が与えられたという。 Λ のことをこの族の添字集合と呼ぶ。

もちろん集合列は集合族の特別な場合である。 {S_{n}}_{n∈ℤ_{>0}} のことを {S_{n}}_{n=1}^{∞} のように書いているのである。

定義 4.2. 集合族 {S_{λ}}_{λ∈Λ} にたいして、その和集合と共通部分を

⋂_{λ∈Λ} S_{λ} = {x; ∀λ ∈ Λ (x ∈ S_{λ})}

⋃_{λ∈Λ} S_{λ} = {x; ∃λ ∈ Λ (x ∈ S_{λ})}

により定義する。

集合列については、その共通部分

⋂_{n∈ℤ_{>0}} S_{n}

のことを

⋂_{n=1}^{∞} S_{n}

のごとく書くことも多い。和集合も同様。

問題 4.4.

⋂_{n=1}^{∞}(0, \frac{1}{n}) = ∅

であることを示しなさい。右辺の記号は空集合といって、元をひとつも持たない集合のことをさす記号である。

問題 4.5.

⋂_{ϵ>0}(−∞, 1 + ϵ) = (−∞, 1]

であることを示しなさい。 (左辺は堅苦しく書けば ⋂_{ϵ∈ℝ_{>0}}(−∞, 1 + ϵ) となるところであるが、上のように省略することが往々にしてある。 )