論理と集合要約 NO.13

第 13 回目の主題 : 「代表元のとり方によらない」

問題 13.1. ℤ における二項関係を x ∼ y⇔x − y ∈ 6ℤ で定義する。このとき、 (1) ∼ は同値関係であることを示しなさい。

(2) 以下この問題では、 x ∈ ℤ の ∼ に関するクラスを [x] と書く。 1 のクラス [1] に属する ℤ の元をすべて答えなさい。

(3) ℤ/ ∼ から ℤ への写像 f を、 f([x]) = (x を 3 で割った余り)で定義できるだろうか。

(4) ℤ/ ∼ から ℤ への写像 f を、 f([x]) = (x を 4 で割った余り)で定義できるだろうか。

上の問題の (3) のような状況は、「写像 f は代表元のとり方によらずにうまく定義される」と呼ばれてとくに重宝される。

[figure: 一般に、集合 X に同値関係 ∼ が定義されていて、 X から集合 Y への写像 f が、 ; ∀x ∈ X∀y ∈ X(x ∼ y ⟹ f(x) = f(y) ; をみたすとき、 f(x) の値は x のクラス [x] の代表元のとり方によらないという。こ ; のとき、あたらしい写像 g : X(/ ∼) → Y が ; g([x]) = f(x) ; により定義できる。]

問題 13.2. ℤ における二項関係を x ∼ y⇔x − y ∈ 12ℤ で定義する。このとき、 (1) ∼ は同値関係であることを示しなさい。

(2) 以下この問題では、 x ∈ ℤ の ∼ に関するクラスを [x] と書く。 3 のクラス [3] に属する ℤ の元をすべて答えなさい。

(3) ℤ/ ∼ から ℤ への写像 f を、 f([x]) = (x を 5 で割った余り)で定義できるだろうか。

(4) ℤ/ ∼ から ℤ への写像 f を、 f([x]) = (x を 4 で割った余り)で定義できるだろうか。

つぎのことは集合の準同型定理とも呼ばれ、線形代数学、代数学などの各分野で基本的な役割を果たす。

命題 13.1. 写像 f : X → Y が与えられたとき、 (1) X に同値関係 ∼_{f} が、

x_{1} ∼_{f} x_{2} ⇔ f(x_{1}) = f(x_{2})

により定義される。

(2) f̄: (X/ ∼_{f}) → Y が

f̄([x]_{f}) = f(x)

によりうまく定義される。ここに、 [x]_{f} は ∼_{f} に関する x ∈ X のクラスである。 (3) f̄ は X/ ∼_{f} と Image f との間の全単射を与える。

(4) π : X → X/ ∼ を自然な射影とするとき、 f は全射と単射の合成写像として分解

される。すなわち、

f = f̄∘ π.