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論理と集合要約 No.13

第13回目の主題 : 「代表元のとり方によらない」

問題 13.1   $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ における二項関係を $ x \sim y {\Leftrightarrow}x-y \in 6{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ で定義する。 このとき、
  1. $ \sim $ は同値関係であることを示しなさい。
  2. 以下この問題では、 $ x \in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$$ \sim $ に関するクラスを $ [x]$ と書く。 $ 1$ のクラス $ [1]$ に属する $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ の元をすべて答えなさい。
  3. $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/\sim$ から $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ への写像 $ f$ を、 $ f([x])=$   ($x$ を $3$ で割った余り) で定義できるだろうか。
  4. $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/\sim$ から $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ への写像 $ f$ を、 $ f([x])=$   ($x$ を $4$ で割った余り) で定義できるだろうか。

上の問題の(3)のような状況は、 「写像 $ f$ は 代表元のとり方によらずにうまく定義される」 と呼ばれてとくに重宝される。

一般に、集合 $ X$ に同値関係 $ \sim $ が定義されていて、$ X$ から 集合 $ Y$ への写像 $ f$ が、

$\displaystyle \forall x \in X \forall y \in X
(x \sim y \implies f(x)=f(y)
$

をみたすとき、$ f(x)$ の値は $ x$ のクラス $ [x]$代表元 のとり方によらないという。 このとき、あたらしい写像 $ g :X(/\sim ) \to Y $

$\displaystyle g([x])=f(x)
$

により定義できる。

問題 13.2   $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ における二項関係を $ x \sim y {\Leftrightarrow}x-y \in 12{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ で定義する。 このとき、
  1. $ \sim $ は同値関係であることを示しなさい。
  2. 以下この問題では、 $ x \in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$$ \sim $ に関するクラスを $ [x]$ と書く。 $ 3$ のクラス $ [3]$ に属する $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ の元をすべて答えなさい。
  3. $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/\sim$ から $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ への写像 $ f$ を、 $ f([x])=$   ($x$ を $5$ で割った余り) で定義できるだろうか。
  4. $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/\sim$ から $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ への写像 $ f$ を、 $ f([x])=$   ($x$ を $4$ で割った余り) で定義できるだろうか。

つぎのことは集合の準同型定理とも呼ばれ、線形代数学、代数学などの各分野で 基本的な役割を果たす。

命題 13.1   写像 $ f: X \to Y$ が与えられたとき、
  1. $ X$ に同値関係 $ \sim_ f$ が、

    $\displaystyle x_1\sim_f x_2  {\Leftrightarrow} f(x_1)=f(x_2)
$

    により定義される。
  2. $ \bar f:(X/\sim_f)\to Y$

    $\displaystyle \bar{f}([x]_f )=f(x)
$

    によりうまく定義される。 ここに、$ [x]_f$$ \sim_ f$ に関する $ x\in X$ のクラスである。
  3. $ \bar f $$ X/\sim_f$ $ \operatorname{Image}f$ との間の全単射を与える。

  4. $ \pi: X \to X/\sim$ を自然な射影とするとき、 $ f$ は全射と単射の合成写像として分解される。すなわち、

    $\displaystyle f=\bar f \circ \pi.
$


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2015-07-23