論理と集合要約 NO. 真 8

写像を理解するときに、「ホテルヒルベルト」のような解釈もできるのでした。この解釈では、全射は、「空き室がないこと」に対応し、単射は、「各部屋個室」 (単射でないことは、相

部屋が生じること) に対応するのでした。全射や単射の存在は、始集合と終集合の元の多さと関係しているのでした。

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第 8 回目の主題 : 写像 ◎写像の合成

定義真 8.1. 写像 f : X → Y と g : Y → Z が与えられているとする。このとき、 f, g の合成写像 g ∘ f : X → Z を

(g ∘ f)(x) = g(f(x))

で定義する。

次の命題は簡単ではあるが有用である。実用上はこのような命題があることだけ記憶しておいて、その都度頭の中で確かめるのがいいだろう。

命題真 8.2. 写像 f : X → Y と g : Y → Z が与えられているとする。このとき、次がなりたつ。

(1) f, g がともに単射ならば g ∘ f も単射である。

(2) f, g がともに全射ならば g ∘ f も全射である。

(3) f, g がともに全単射ならば g ∘ f も全単射である。

(4) g ∘ f が単射ならば、 f は単射である。

(5) g ∘ f が全射ならば、 g は全射である。

定義真 8.3. 集合 X に対して、写像 X ∋ x ↦ x ∈ X を X の恒等写像といい、 id_{X} で表す。

命題真 8.4. 集合 X, Y と、写像 f : X → Y および g : Y → X が与えられているとする。このとき次のことはすべて同値である。

(1) f は全単射であって、 g は f の逆写像である。

(2) g ∘ f = id_{X} かつ f ∘ g = id_{Y}.

(3) f は全射であって、 g ∘ f = id_{X}.

(4) f は単射であって、 f ∘ g = id_{Y}.

上の命題も、 (1)⇔(2) 以外はその都度確認すれば良い。 (1)⇔(2) は特に重要である。

問題真 8.1. X = ℝ_{≥0}, Y = ℝ とおく。写像 f : X ∋ x → \sqrt{x} ∈ Y と g : Y ∋ x → x^{2} ∈ X にたいして、

(1) g ∘ f = id_{X} であることを示しなさい。

(2) f ∘ g ≠ id_{Y} であることを示しなさい。

(3) f, g はそれぞれ全射、単射、全単射だろうか。

問題真 8.2. X = ℂ[t] (複素数係数の t を変数とする多項式の全体のなす集合), Y = ℂ[t] とおく。写像 f : X ∋ p → ∫_{0}^{t} pdt ∈ Y と g : Y ∋ p ↦ \frac{d}{dt}p ∈ X にたいして、

(1) g ∘ f = id_{X} であることを示しなさい。

(2) f ∘ g ≠ id_{Y} であることを示しなさい。

(3) f, g はそれぞれ全射、単射、全単射だろうか。