論理と集合要約 NO. 真 9

第 9 回目の主題 : 復習 ◎「P ならば Q」の否定は、「P かつ (not Q)」。

問題真 9.1.

(1) 「∀x ∈ ℝ x > 3 ⟹ x > 5」を日本語に直しなさい。。

(2) 「∀x ∈ ℝ x > 3 ⟹ x > 5」は正しいだろうか。

(3) 「∀x ∈ ℝ x > 3 ⟹ x > 5」の否定を記号で書きなさい。

(4) 「∀x ∈ ℝ x > 3 ⟹ x > 5」の否定を日本語に直して書きなさい。

問題真 9.2 (6.3). 集合 X, Y, Z に対して、 X ⊂ Y ⟹ Z \ X ⊃ Z \ Y を示しなさい。

問題真 9.3. (6.4) 集合族 {A_{i}}, {B_{i}} が与えられた時、包含関係

(∪A_{i}) \ (∪B_{i}) ⊂ ∪(A_{i} \ B_{i})

および

(∩A_{i}) \ (∩B_{i}) ⊃ ∩(A_{i} \ B_{i})

を示しなさい、

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

定義真 9.1. 集合 X, Y に対して、 X × Y = {(x, y)|x ∈ X, y ∈ Y } のことを X と Y の直積集合と呼ぶ。

定義真 9.2 (7.3). 写像 f : X → Y に対してそのグラフを

Γ_{f} = {(x, f(x))| x ∈ X} ⊂ X × Y

で定義する。

例 9.3. [7.2] つぎの各々はそれぞれ (別々の) 写像である。 (そのグラフは???) (1) f_{1} : ℝ ∋ x ↦ x ∈ ℝ

(2) f_{2} : ℝ ∋ x ↦ x^{2} ∈ ℝ

(3) f_{3} : ℝ_{>0} ∋ x ↦ x^{2} ∈ ℝ

(4) f_{4} : ℝ_{>0} ∋ x ↦ x^{2} ∈ ℝ_{>0}

(5) f_{5} : ℤ ∋ n ↦ 2n ∈ ℝ

(6) f_{6} : ℤ ∋ n ↦ 2n ∈ ℤ

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

問題真 9.4 (8.1). f : ℝ ∋ x ↦ 2x + 1 ∈ ℝ の逆写像を求めよ。

問題真 9.5 (8.2). つぎのことをそれぞれ示しなさい。 (1) ℤ_{>0} から ℤ_{>0} \ {1} への全単射が存在する。

(2) ℤ から 2ℤ への全単射が存在する。

(3) ℤ から ℤ_{>0} への単射が存在する。

(4) ℤ_{>0}^{2} から ℤ への単射が存在する。

(5) ℤ^{2} から ℤ への単射が存在する。

(6) 任意の整数 n にたいして、 ℤ^{n} から ℤ への単射が存在する。

(7) ℚ から ℤ への単射が存在する。

定義真 9.4. 写像 f : X → Y が与えられているとき、 (1) X の部分集合 A に対して、その f による像 (順像とも言う) f(A) を

f(A) = {f(x)|x ∈ A}

で定義する。

(2) Y の部分集合 B に対して、その f による逆像 f^{−1}(B) を

f^{−1}(B) = {x ∈ X; f(x) ∈ B}

により定義する。

逆写像と同じ記号 f^{−1} を使っているけれども、\underline{集合の逆像は f の逆写像が存在しない場合においても定義される} ということに注意しておこう。

問題真 9.6. f : ℝ ∋ x ↦ x^{2} ∈ ℝ に対して、 (1) f({1, 2}) を求めよ。

(2) f({−3, 3, 5}) を求めよ。

問題真 9.7. f : ℝ ∋ x ↦ x^{2} ∈ ℝ に対して、 (1) f^{−1}([1, 2]) を求めよ。

(2) f^{−1}({1}) を求めよ。

(3) f^{−1}({2}) を求めよ。

(4) f^{−1}({−1}) を求めよ。