論理と集合要約 No.真9

第9回目の主題 :

◎ 「Pならば Q」 の否定は、「P かつ (not Q)」。

問題 真 9.1  

1. 「 $\forall x \in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$\ x>3 \implies x>5$ 」 を日本語に直しなさい。。
2. 「 $\forall x \in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$\ x>3 \implies x>5$ 」 は正しいだろうか。
3. 「 $\forall x \in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$\ x>3 \implies x>5$ 」 の否定を記号で書きなさい。
4. 「 $\forall x \in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$\ x>3 \implies x>5$ 」 の否定を日本語に直して書きなさい。

問題 真 9.2 (6.3)   集合 $X,Y,Z$ に対して、 $X \subset Y \implies Z \setminus X \supset Z \setminus Y$ を示しなさい。

問題 真 9.3 (6.4)   集合族 $\{A_i\}, \{B_i\}$ が与えられた時、包含関係

$$(\cup A_i) \setminus (\cup B_i) \subset \cup (A_i \setminus B_i)$$

および

$$(\cap A_i) \setminus (\cap B_i) \supset \cap (A_i \setminus B_i)$$

を示しなさい、

&dotfill#dotfill;

定義 真 9.1   集合 $X,Y$ に対して、 $X\times Y=\{(x,y)\vert x\in X,y\in Y\}$ のことを $X$ と $Y$ の直積集合と呼ぶ。

定義 真 9.2 (7.3)   写像 $f:X\to Y$ に対してそのグラフを

$$\Gamma_f=\{ (x,f(x)) \vert\ x \in X\} \subset X\times Y$$

で定義する。

例 9.3   [7.2] つぎの各々はそれぞれ(別々の)写像である。(そのグラフは???)

1. $f_\theenumi:$$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$\ni x \mapsto x \in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$
2. $f_\theenumi:$$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$\ni x \mapsto x^2 \in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$
3. $f_\theenumi:$$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$_{>0} \ni x \mapsto x^2 \in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$
4. $f_\theenumi:$$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$_{>0} \ni x \mapsto x^2 \in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$_{>0}$
5. $f_\theenumi:{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\ni n \mapsto 2 n \in \mbox{${\mathbb{R}}$}$
6. $f_\theenumi:{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\ni n \mapsto 2 n \in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$

&dotfill#dotfill;

問題 真 9.4 (8.1)   $f:$$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$\ni x \mapsto 2 x+1 \in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ の逆写像を求めよ。

問題 真 9.5 (8.2)   つぎのことをそれぞれ示しなさい。

1. ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}_{>0}$ から ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}_{>0}\setminus \{1\}$ への全単射が存在する。
2. ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ から $2 {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ への全単射が存在する。
3. ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ から ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}_{>0}$ への単射が存在する。
4. ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}_{>0}^2$ から ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ への単射が存在する。
5. ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}^2$ から ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ への単射が存在する。
6. 任意の整数 $n$ にたいして、 ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}^n$ から ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ への単射が存在する。
7. $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ から ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ への単射が存在する。

問題 真 9.6 (再)   $X={\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ , $Y={\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ とおく。 写像 $f :X \ni x \to 2 x \in Y$ と $g :Y \ni x \to \lfloor x/2 \rfloor \in X$ にたいして、

1. $g \circ f={\operatorname{id}}_X$ であることを示しなさい。
2. $f \circ g \neq {\operatorname{id}}_Y$ であることを示しなさい。
3. $f$ , $g$ はそれぞれ全射、単射、全単射だろうか。

上の例のように、 $g\circ f={\operatorname{id}}$ を満たすとき、$g$ は $f$ の左逆写像で あるという。($g$ からみれば $f$ は $g$ の右逆写像である。このとき、 $g$ が全射で $f$ が単射であるのがわかることに注意しておこう。 )

問題 真 9.7   $g_1: {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\to {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ を

$$g_1(n)= \begin{cases} n/2 &\text{($n$ が偶数の時)} \\ 0 &\text{($n$ が奇数の時)} \end{cases}$$

と定義すれば、 問題 9.6 の $f$ に対し $g_1 \circ f={\operatorname{id}}_{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ が成り立つことを示しなさい。

問題 真 9.8   $f_1: {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\to {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ を

$$f_1(n)= 2 n +1$$

と定義すれば、 問題 9.6 の $g$ に対し $g \circ f_1={\operatorname{id}}_{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ が成り立つことを示しなさい。

定義 真 9.4   写像 $f:X\to Y$ が与えられているとき、

1. $X$ の部分集合 $A$ に対して、その $f$ による 像(順像とも言う) $f(A)$ を
   $$f(A)=\{ f(x) \vert x \in A\}$$
   で定義する。

2. $Y$ の部分集合 $B$ に対して、その $f$ による逆像 ${f}^{-1}(B)$ を
   $${f}^{-1}(B)=\{ x \in X ; f(x)\in B\}$$
   により定義する。

逆写像と同じ記号 ${f}^{-1}$ を使っているけれども、 集合の逆像は $f$ の逆写像が存在しない場合においても定義される ということに 注意しておこう。

問題 真 9.9   $f:$$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$\ni x \mapsto x^2 \in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ に対して、

1. $f(\{1,2\})$ を求めよ。
2. $f(\{-3,3,5\})$ を求めよ。

問題 真 9.10   $f:$$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$\ni x \mapsto x^2 \in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ に対して、

1. ${f}^{-1}([1,2])$ を求めよ。
2. ${f}^{-1}(\{1\})$ を求めよ。
3. ${f}^{-1}(\{2\})$ を求めよ。
4. ${f}^{-1}(\{-1\})$ を求めよ。