代数学 III 要約 NO.3

今日のテーマ: 体に代数的な元を何個か付け加える

一般に、複素数体 ℂ や実数体 ℝ 以外の体 K でも、線形代数で習ったはずのいろいろな事柄 (線形空間、基底とその取り換え、次元。線形写像とその行列表現など) がそのまま使えることに注意しておく。心配な人はここで少し復習しておくと良いかもしれない。

定義 3.1. K の拡大体 L は K 上のベクトル空間の構造を持つ。そこで、 L の K-ベクトル空間としての次元のことを L の K 上の拡大次数といい、 [L : K] で書き表す。 [L : K] < ∞ のとき、 L は K の有限次拡大であると言う。

次の命題は体の拡大次数の方程式論的な意味を明らかにする。

命題 3.2. 体 K の拡大体 L と L の元 α とが与えられているとする。このとき、 (1) d = [K(α) : K] が有限であることと、 α が K 上代数的であることは同値である。 (2) d < ∞ なら、 d は α の K 上の最小多項式の次数と等しい。

命題 3.3. (1) 体 K, L_{1}, L_{2} が K ⊂ L_{1} ⊂ L_{2} をみたすならば拡大次数の間に

[L_{2} : K] = [L_{2} : L_{1}][L_{1} : K]

という関係式が成り立つ。

(2) 体 K の有限次拡大体 L の元は全て K 上代数的である。

定理 3.4. 体 K と、その拡大体 L が与えられているとする。このとき、 L の元で、 K 上代数的な元同士の和、差、積、商はまた K 上代数的である。つまり、 L の元で K 上代数的なものの全体は体をなす。

定義 3.5. 体 K とその拡大体 L が与えられているとする。このとき L の元 α_{1}, α_{2}, …, α_{s} を K に付け加えてできた体 (言い換えると K と α_{1}, α_{2}, …, α_{s} を含むような L の部分体のなかで、最小のもの) を K(α_{1}, α_{2}, …, α_{s}) と書く。 (環 K[α_{1}, α_{2}, …, α_{s}] との違いに注意。 )

命題 3.6. 体 K とその拡大体 L が与えられているとする。このとき L の\underline{代数的な}元 α_{1}, α_{2}, …, α_{s} について、次のことが成り立つ。

(1) α_{1}, α_{2}, …, α_{s} を K に付け加えてできた体 K(α_{1}, α_{2}, …, α_{s}) の元はどれも K 上代数的である。

(2)

K(α_{1}, α_{2}, …, α_{s}) = K[α_{1}, α_{2}, …, α_{s}]

問題 3.1. α = \sqrt{2} + 7\sqrt[3]{5} は ℚ 上代数的であることを示しなさい。

上の問題は間接的な解答でも良いわけだが、直接的に答える、すなわち α の ℚ 上の最小多項式を実際に求めることもできる。例えば次のようにすれば良い。

問題 3.2. α = \sqrt{2} + 7\sqrt[3]{5} とおく。このとき、 (1) (α − \sqrt{2})^{3} − 1715 = 0 であることを示しなさい。

(2) p(X) = ((X − \sqrt{2})^{3} − 1715)((X + \sqrt{2})^{3} − 1715) を展開し、それが ℚ[X] の元であることを確かめなさい。

(3) 上の p は p(α) = 0 を満たすことを示しなさい。