洛眶池III妥腆 No.11

毋玛

$% latex2html id marker 1049 $ \alpha=\sqrt{3}+2 \sqrt{5}$$ , $% latex2html id marker 1051 $ \beta=\sqrt{3}-\sqrt{5}$$ とおくとき、 $c\in$ $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ , $% latex2html id marker 1056 $ c\neq -1,2$$ ならば

$\displaystyle \mbox{${\mathbb{Q}}$}$ $\displaystyle (\alpha+c\beta)=$ $\displaystyle \mbox{${\mathbb{Q}}$}$ $% latex2html id marker 1061 $\displaystyle (\sqrt{3},\sqrt{5}). $$

[沮汤] 肌のステップで沮汤する。

$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ $% latex2html id marker 1065 $ (\sqrt{3}):$$ $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$
$% latex2html id marker 1069 $ \sqrt{5}\notin$$ $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ $% latex2html id marker 1071 $ (\sqrt{3})$$
$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ $% latex2html id marker 1075 $ (\sqrt{3},\sqrt{5}):$$ $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ $% latex2html id marker 1077 $ (\sqrt{3})]=2$$ .
$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ $% latex2html id marker 1081 $ (\sqrt{3},\sqrt{5})$$ は $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ のガロア橙络であって、その橙络肌眶は .
$\operatorname{Gal}(L/$ $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ の傅 $\sigma$ は $% latex2html id marker 1093 $ \sqrt{3}$$ の乖き黎 $% latex2html id marker 1095 $ \sigma(\sqrt{3})$$ ( $% latex2html id marker 1097 $ \sqrt{3},-\sqrt{3}$$ の企奶り。) と $% latex2html id marker 1099 $ \sqrt{5}$$ の乖き黎 $% latex2html id marker 1101 $ \sigma(\sqrt{5})$$ ( $% latex2html id marker 1103 $ \sqrt{5},-\sqrt{5}$$ の企奶り) により年まる。しかも、それら ( $2 \times 2=$ ) 4奶りの寥み圭わせはすべてガロア凡の傅として附れる。
$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ $% latex2html id marker 1108 $ (\sqrt{3},\sqrt{5})$$ の $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ ベクトル鄂粗としての答撵として $% latex2html id marker 1112 $ \{1,\sqrt{3},\sqrt{5},\sqrt{15}\}$$ を艰ることができる。
$% latex2html id marker 1114 $ c\neq -1,2$$ なら、ガロア凡 $\operatorname{Gal}(L/$ $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ の傅で、 $\alpha+c \beta$ を瓢かさないものは、ガロア凡の帽疤傅(贡霹继咙)に嘎る。

惧のように、ガロア妄侠を梦った惧でなら、肌の输玛の柒推が尸かりやすくなる。 (この输玛极挛は、ガロア妄侠の菇蜜そのものに涩妥であったので、ガロアの答塑年妄(ガロア滦炳)を脱いずに沮汤する涩妥があった。)

瑁滈 11.1 (输玛6.8浩非)

は痰嘎改の傅を积つ挛とする。

惧の洛眶弄な傅 $\alpha,\beta$ が、ともに

惧尸违弄ならば

$\displaystyle K(\alpha,\beta)=K(\alpha+c \beta)$

をみたす $c\in K$ が警なくともひとつ赂哼する。

企脚含规について。

肌のような霹及がある。

$% latex2html id marker 1139 $\displaystyle \sqrt{3+\sqrt{5}}= \frac{\sqrt{12+2\... ...0}}}{2} =\frac{\sqrt{(\sqrt{10}+\sqrt{2})^2}}{2} =\frac{\sqrt{10}+\sqrt{2}}{2} $$

つまり、 $% latex2html id marker 1141 $ \sqrt{3+\sqrt{5}}$$ は　宝收のように词帽步できる。これを企脚含规をはずすという。票屯に、肌のような霹及が喇り惟つことがわかる。

$% latex2html id marker 1143 $\displaystyle \sqrt{7-2\sqrt{6}}=\sqrt{6}-1,\quad \sqrt{3+\sqrt{2}}=\sqrt{6}-1,\quad $$

办数で、 $% latex2html id marker 1145 $ \sqrt{3+ \sqrt{7}}$$ は惧のようには词帽にならない。これは、肌のように棱汤できる。

$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ のガロア橙络で、 $% latex2html id marker 1151 $ \alpha=\sqrt{3+\sqrt{7}}$$ を傅として崔むものは、 $% latex2html id marker 1153 $ \sqrt{3-\sqrt{7}})$$ も傅として崔む。
$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ $% latex2html id marker 1157 $ (\sqrt{3+\sqrt{7}},\sqrt{3-\sqrt{7}})$$ .
$L \supset$ $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ $% latex2html id marker 1161 $ (\sqrt{7},\sqrt{2})$$ .
$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ $% latex2html id marker 1165 $ (\sqrt{7},\sqrt{2})]=2$$ .
もし、 $\alpha$ が铜妄眶でもって $% latex2html id marker 1171 $ \sqrt{x},\sqrt{y}$$ の铜妄犯眶の铜妄及としてかけるなら、 $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ $% latex2html id marker 1175 $ (\sqrt{x},\sqrt{y})$$ となって、惧の祸悸と谭解する。

[ガロア滦炳の沮汤]

挛のガロア橙络が涂えられているとする。 $G=\operatorname{Gal}(L/K)$ の婶尸凡に滦して、

$\displaystyle \mathcal F(H) = \{ x \in L; g.x = x (\forall g \in H)\}$

と年盗する。

と

の面粗挛

に滦して、

$\displaystyle \mathcal G(M)=\{ g \in G; g.x=x (\forall x \in M)\}$

と年盗する。この箕、肌のことが喇り惟つ。(帽拇负警拉)

の扦罢の婶尸凡に滦して、

$\displaystyle H_1\subset H_2 \implies \mathcal F (H_1)\supset \mathcal F(H_2).$
の扦罢の面粗挛に滦して、

$\displaystyle M_1\subset M_2 \implies \mathcal G (M_1)\supset \mathcal G(M_2).$
の扦罢の婶尸凡にたいして、

$\displaystyle \mathcal G (\mathcal F(H)) \supset H.$
の扦罢の面粗挛に滦して、

$\displaystyle \mathcal F(\mathcal G(M))\supset M.$

悸は、惧の (1)-(4) から、链く妨及弄な纷换で肌のことが喇り惟つことがわかる。

("3搀=1搀")

の扦罢の婶尸凡にたいして、

$\displaystyle \mathcal F (\mathcal G (\mathcal F(H))) =\mathcal F(H).$
の扦罢の面粗挛に滦して、

$\displaystyle \mathcal G (\mathcal F(\mathcal G(M)))=\mathcal G(M).$

ガロア妄侠では、さらに肌のことが尸かる。(豆盗帽拇负警拉)

の扦罢の婶尸凡に滦して、

$\displaystyle H_1\subset H_2, \mathcal F(H_1)= \mathcal F(H_2) \implies H_1=H_2$

(输玛9.4による。)
の扦罢の面粗挛に滦して、

$\displaystyle M_1\subset M_2 , \mathcal G (M_1)=\mathcal G(M_2) \implies M_1 = M_2.$

(炭玛8.4による。)

このことから、呵稿に肌のことが尸かる。

("2搀=0搀")

の扦罢の婶尸凡にたいして、

$\displaystyle \mathcal G (\mathcal F(H)) = H.$
の扦罢の面粗挛に滦して、

$\displaystyle \mathcal F(\mathcal G(M))=M.$

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2016-01-24