代数学II要約 No.3

第3回目の主題 :

$A$ -加群の部分加群と剰余加群

補題 3.1   環 $A$ と $A$ -加群 $M$ が与えられているとする。$M$ の 部分集合 $S$ に対して、次のことは同値である。

1. $S$ を含む $M$ の部分加群は $M$ 自身しかない。
2. $M=\{\sum_{\text{有限和}} r_i s_i; r_i \in A , s_i \in A\}$

定義 3.2   $S$ がうえの補題の性質を満たすとき、「$S$ は $M$ を生成する」という。

補題 3.3   環 $A$ と $A$ -加群 $M$ , および $M$ の $A$ -部分加群 $N$ が与えられているとする。 このとき、剰余加群 $M/N$ には $A$ -加群の構造が自然に入る。

この $M/N$ のことを $M$ の $N$ による剰余 $A$ -加群という。

命題 3.4   環 $A$ と、$A$ 上の行列 $(a_{j i})_{i\in I, j\in J}$ が与えられていて、 次のような条件を満たすとする。

(条件): 各 $j\in J$ に対して、 $a_{j i}\neq 0$ なる $i\in I$ は たかだか有限個しかない。

このとき、 $A$ -加群 $M$ とその元 $\{m_i\}_{i\in I}$ の組 $(M,\{m_i\})$ に関する次の条件を考える。

(Gen1).

$M$ は $\{m_i\}_{i\in I}$ で生成される。

(Gen2).

任意の $j\in J$ に対して、 関係式 $\sum_i a_{j i} m_i=0$ をみたす。

このとき、$A$ -加群 $M_0$ とその生成元 $\{m_i^{(0)}\}$ で次のようなものが同型を除いてただひとつ存在する。

1. $(M_0,\{m_i^{(0)}\}$ は (Gen1),(Gen2)をみたす。
2. もし、 $(M_1, \{m_i^{(1)}\}$ も (Gen1),(Gen2)を満たすとすると、 $M_0$ から $M_1$ への $A$ -準同型 $\varphi$ であって、 $\varphi(m_i^{(0)})=m_i^{(1)}$ をみたすものが存在する。

注意 3.5   上の(2)で、$\varphi$ はただひとつ定まり、しかも全射であることがすぐに分かる。

定義 3.6   上の命題で定まる $M_0$ のことを、 関係式

$$\sum_j a_{j i} m_i =0$$

で定義される $A$ -加群と呼ぶ。

例 3.7   体 $K$ 上のベクトル空間 $V$ は $K$ -加群と同じである。 $V$ の部分ベクトル空間 $W$ は $K$ -部分加群と同じであり、 剰余ベクトル空間 $V/W$ の定義は$K$ -剰余加群の定義と同じである。

例 3.8   ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ 上の加群 ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ の部分加群は、 ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ のイデアルと同じことであり、 それは代数 IB で学んだとおり、 $n{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ $(n=0,1,2,\dots$ のどれかに一致する。 そこで剰余加群として ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/n{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ が得られる。

例 3.9   $v_1= \begin{pmatrix} -5 10 \end{pmatrix}$ , $v_2= \begin{pmatrix} 3 4 \end{pmatrix}$ とおき、 $M={\mbox{${\mathbb{Z}}$}}^2$ の ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ -部分加群 $N= {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}v_1 + {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}v_2$ を考える。このとき

1. $N$ は $v_1,v_2$ で生成される $M$ の ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ -部分加群である。
2. $m= \begin{pmatrix} -2 \\ 14 \end{pmatrix}$ とおくと、 $m \in N$ である。$m=v_1+v_2$ であるからである。

3. $M$ の基本ベクトル $e_1,e_2$ の $M/N$ でのクラスを $\bar e_1, \bar e_2$ と書くと、 $-5 \bar e_1 + 10 \bar e_2 =0,$ $3 \bar e_1 + 4 \bar e_2=0$ である。

4. $-2 \bar e_1 +14 \bar e_2=0$ である。