代数学II要約 No.5

第5回目の主題 : 有限生成加群と自由加群の間の準同型 , PID 上の有限生成加群の構造(1)

◎有限生成加群 (再掲)

定義 5.1   $A$ -加群 $M$ が有限個の元で生成されるとき、 $M$ を $A$ 上の有限生成加群と呼ぶ。

例 5.2   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^2$ は 有限生成 $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ -加群だが、 ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ -加群としては有限生成ではない。

補題 5.3   $A$ -加群 $M$ が有限個の元 $m_1,m_2,\dots, m_s$ で生成されるとき、

1. 写像
   $$\varphi: A^s \ni \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_s \end{pmatrix}\mapsto \sum_{i=1}^s a_i m_i$$
   は $A$ -加群の全射準同型である。
2. $M \cong A^s /\operatorname{Ker}(\varphi)$ .

** 一般に、$M$ の $A$ -加群としての生成元 $\{ m_\lambda\}_{\lambda \in \Lambda}$ を とれば、全射 $A$ -準同型

$$\varphi: A^{\oplus \Lambda } \ni (a_\lambda )_{\lambda \in \Lambda} \mapsto \sum_\lambda a_\lambda m_\lambda$$

が定義されて、$M$ は自由加群の剰余加群として表現されることが分かる。 **

自由加群から一般の加群への準同型は次のように「生成元の行き先」で定まる。

命題 5.4   環 $A$ 上の加群 $M$ にたいして、

1. $M$ の元 $m_1,m_2,\dots,m_k$ が与えられたとき、 $A^{\oplus k}$ から $M$ への $A$ -準同型 $\varphi$ が
   $$\varphi( \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_k \end{pmatrix}) =\sum_{j=1}^k {a_j. m_j}$$
   により定まる。
2. $A^{\oplus k}$ から $M$ への $A$ -準同型は、上のような 形のものに限る。

系 5.5   環 $A$ 上の加群 $M$ にたいして、 $M$ が $k$ 個の元 $\{m_1,m_2,\dots,m_k\}$ で生成されるならば、

1. 上記の命題のようにして全射 $A$ -準同型 $\psi :A^{\oplus k} \to M$ が定まる。
2. さらに、 $\operatorname{Ker}(\psi)$ も有限個の元で生成されるならば、 適当な $A$ 準同型
   $$f: A^{\oplus {k'}} \to A^{\oplus {k}}$$
   があって、$M$ は $f$ の余核 $A^{\oplus k}/\operatorname{Image}(f)$ と同型になる。 (このような $M$ のことを有限表示をもつ $A$ 加群という。)

うえのことは、$M$ が適当な有限性の条件を満足すれば(つまり、有限表示を持てば)、 $M$ は 上のような準同型の余核として得られることを示している。

命題 5.6   $A$ は可換環であるとする。このとき、 $A^{\oplus k}$ から $A^{\oplus l}$ への任意の $A$ -準同型 $\varphi$ は、

$$\varphi( \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_k \end{pmat... ...}}\\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_k \end{pmatrix}$$

と書ける。

PID 上の有限生成加群の構造(1)

次のことをこの講義からしばらくの間の目標にしよう。

定理 5.7   PID $A$ 上の有限生成加群は必ず $A/(a)$ の形の加群の直和である。

言葉の確認から:

可換環 $A$ は、0 以外に零因子を持たないとき整域と呼ばれるのでした。

定義 5.8   整域 $A$ が PID (principal ideal domain, 主イデアル整域) であるとは、 $A$ の任意のイデアルがひとつの元で生成されるときにいう。

「余りを許した割り算」が必ずできるような整域のことを ユークリッド整域と呼ぶのでした。

次の定理は代数IB で学習済みのことと思います。

定理 5.9   ユークリッド整域は必ずPIDである。

定理 5.10   PID はかならずUFD である。すなわち、素因数分解の一意性が成り立つ。

これらの諸定理から、次のことがすぐに分かる。

命題 5.11   PID $A$ 上の加群が、ひとつの元で生成されるなら、 それは $A/A a$ $(\exists a \in A)$ の形の加群と同型である。

補題 5.12   PID $A$ 上の加群 $M$ が2つの元 $m_1,m_2$ で生成されているとし、

$$a_1 m_1+ a_2 m_2=0$$

なる関係式が成り立っていたとする。このとき、

次のような $m_1', m_2'$ が存在する。

1. $m_1', m_2'$ は $M$ の生成元である。
2. $d m_1'=0.$ (ただし $d$ は $a_1$ と $a_2$ の最大公約元。)

命題 5.13   可換 PID $A$ の元 $a,b$ に対して、イデアル $A a + A b$ は ある単項イデアル $A d$ と等しい。このとき、ある $a',b',x,y$ が存在して、 次の二式が成り立つ。

1. $a= a' d$ ,    $b=b' d$ .
2. $a' x + b' y =1$ .

とくに、

$$\begin{pmatrix} a' & b' \\ -y & x \end{pmatrix}$$

は $\operatorname{SL}_2(A)(\subset {\operatorname{GL}}_2(A))$ の元である。

命題 5.14   可換 PID $A$ のイデアルの増加列

$$I_1 \subset I_2 \subset I_3 \subset I_4 \subset \dots$$

は必ず有限で止まる。すなわち、ある $N$ があって、

$$I_N=I_{N+1}=I_{N+2}=\dots$$

が成り立つ。