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代数学II要約 No.11

今日のテーマ: \fbox{「群の表現」の定義、正則表現}

$ A$ と有限群 $ G$ が与えられているとき、 群環 $ A[G]$ が定義される。 実は、$ G$$ A[G]$ 自体の上に表現できる。 このことを、とくに $ R$ が体 $ K$ のときに詳しく見てみることにする。

定義 11.1   環 $ A$ と群 $ G$ が与えられたとき、$ A$ 上の $ G$群環 $ A[G]$ とは、 形式的な有限和の集合

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$\displaystyle A[G]=
\left\{
\sum_{g \in G} a_g g \ ; \qquad a_g=0 \quad \forall' g \in G
\right\}
$

に形式的に和、積を導入したものである。 (「 $ \forall' \bullet$ 」 は「有限個の例外を除いて全ての $ \bullet$ に対して」 という意味である。) 具体的には、和、積は次のように与えられる。
  1. $ \sum_g a_g g + \sum_g b_g g = \sum_g (a_g +b_g) g.$
  2. $ \sum_g a_g g \cdot \sum_g b_g g= \sum_g (\sum_h a_h b_{h^{-1}g} )g$

定義 11.2   体 $ k$ が与えられているとする。群 $ G$$ k$ 上の $ n$ -次線形表現 $ \Phi$ とは、群準同型 $ \Phi: G\to {\operatorname{GL}}_n(k)$ の ことである。

命題 11.3   群 $ G$$ k$ 上の $ n$ -次線形表現 $ \Phi$ が与えられたとき、 $ A[G]$$ k^n$ への作用が

% latex2html id marker 920
$\displaystyle (\sum_g a_g g). v = \sum_g a_g \Phi(g)v \qquad (v\in k^n)
$

で定まる。

$ K$ 上の $ G$$ n$ -次元表現 $ \Phi$ が決まると、 $ K[G]$$ V=K^n$ への作用が命題3.6 のように定まって、 $ V$$ K[G]$ -加群の構造を持つ。逆に、$ K$ -上有限次元の $ K[G]$ -加群 $ V_1$ が与えられれば、(すなわち、$ K$ -ベクトル空間 $ V_1$ 上に $ G$ の作用が定まっていれば、) その基底を固定することにより、$ G$ の表現が定まることが 容易に分かる。 行列を書くよりもその方が簡明であることが多いので、 以下では多くの場合 $ K[G]$ の作用でもって表現を定義する。

補題 11.4   有限群 $ G$ と体 $ K$ が与えられているとする。$ K[G]$ 自身は $ K[G]$ 上の左加群と みなすことができる。 この表現 $ \lambda$$ G$ の左正則表現と呼ぶ。

厳密にいえば、$ G$ の元にどのように順番を付けるかによって $ G$ の各元を表す行列は違ってくる。 ここでは $ G$ の元の順番は適当に付けて、それを明示した上で行列で表現する ことにする。

問題 11.1   $ 4$ つの元の偶置換全体のなす群 $ \mathfrak{A}_4$ の正則表現で、 $ (1\ 2 \ 3)$ および $ (1\ 2)(3\ 4)$ に対応する行列を書き下しなさい。 ( $ \mathfrak{A}_4$ の元の順番を明示しておくこと。)

問題 11.2   位数 $ 2n$ の二面体群

$\displaystyle \mathbb{D}_{2n}=\langle a,b ; a^n=e, b^2=e, bab^{-1}=a^{-1}\rangle
$

の正則表現で、 $ n=2,3$ の場合(できれば、もっと一般の場合も) $ a,b$ に対応する行列はどのようになるか答えなさい。 (二面体群については、すでに二年生段階で習っているはずなので、本問では詳しくは 述べない。)

問題 11.3   5次巡回群 $ C_5=\langle a; a^5=e \rangle$ の上の $ {\mathbb{C}}$ 上の群環 $ {\mathbb{C}}[C_5]$ の次の計算をしせよ。(答はできるだけ簡単にすること。)

$\displaystyle (e+a+a^2+a^3+a^4)(e+a^3)
$


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Yoshifumi Tsuchimoto 2016-06-24