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論理と集合要約 No.8

写像を理解するときに、「ホテルヒルベルト」のような解釈もできるのでした。

この解釈では、全射は、「空き室がないこと」に対応し、 単射は、「各部屋個室」(単射でないことは、 相部屋が生じること)に対応するのでした。

全射や単射の存在は、始集合と終集合の元の多さと関係しているのでした。

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第8回目の主題 : 写像、合成写像

◎写像の合成

定義 8.1   写像 $ f: X\to Y $ $ g: Y \to Z$ が与えられているとする。 このとき、$ f,g$合成写像 $ g\circ f: X\to Z$

$\displaystyle (g\circ f) (x)= g(f(x))
$

で定義する。

次の命題は簡単ではあるが有用である。実用上はこのような命題があることだけ 記憶しておいて、その都度頭の中で確かめるのがいいだろう。

命題 8.2   写像 $ f: X\to Y $ $ g: Y \to Z$ が与えられているとする。 このとき、次がなりたつ。
  1. $ f,g$ がともに単射ならば $ g \circ f$ も単射である。
  2. $ f,g$ がともに全射ならば $ g \circ f$ も全射である。
  3. $ f,g$ がともに全単射ならば $ g \circ f$ も全単射である。
  4. $ g \circ f$ が単射ならば、 $ f$ は単射である。
  5. $ g \circ f$ が全射ならば、 $ g$ は全射である。

定義 8.3   集合 $ X$ に対して、写像 $ X \ni x \mapsto x \in X$$ X$恒等写像といい、 $ {\operatorname{id}}_X$ で表す。

命題 8.4   集合 $ X,Y$ と、写像 $ f: X\to Y $ および $ g: Y\to X$ が与えられているとする。 このとき次のことはすべて同値である。
  1. $ f$ は全単射であって、$ g$$ f$ の逆写像である。
  2. $ g\circ f={\operatorname{id}}_X$ かつ $ f\circ g={\operatorname{id}}_Y$ .
  3. $ f$ は全射であって、 $ g\circ f={\operatorname{id}}_X$ .
  4. $ f$ は単射であって、 $ f\circ g={\operatorname{id}}_Y$ .

上の命題も、 $ (1) {\Leftrightarrow}(2)$ 以外はその都度確認すれば良い。 $ (1) {\Leftrightarrow}(2)$ は特に重要である。

問題 8.1   $ X=$$ \mbox{${\mathbb{R}}$}$% latex2html id marker 989
$ _{\geq 0}$ , $ Y=$$ \mbox{${\mathbb{R}}$}$ とおく。 写像 % latex2html id marker 994
$ f :X \ni x \to \sqrt{x} \in Y$ $ g :Y \ni x \to x^2 \in X$ にたいして、

  1. $ g\circ f={\operatorname{id}}_X$ であることを示しなさい。
  2. % latex2html id marker 1000
$ f \circ g \neq {\operatorname{id}}_Y$ であることを示しなさい。
  3. $ f$ , $ g$ はそれぞれ全射、単射、全単射だろうか。

問題 8.2   $ X={\mathbb{C}}[t] $ (複素数係数の $ t$ を変数とする多項式の全体のなす集合), $ Y={\mathbb{C}}[t]$ とおく。 写像 $ f :X \ni p \to \int_0^t p dt \in Y$ $ g :Y \ni p \mapsto \frac{d}{d t} p \in X$ にたいして、

  1. $ g\circ f={\operatorname{id}}_X$ であることを示しなさい。
  2. % latex2html id marker 1023
$ f \circ g \neq {\operatorname{id}}_Y$ であることを示しなさい。
  3. $ f$ , $ g$ はそれぞれ全射、単射、全単射だろうか。



Yoshifumi Tsuchimoto 2016-06-08