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論理と集合要約 No.9

第9回目の主題 : \fbox{写像による集合の像、逆像}

定義 9.1 (再)   写像 $ f: X\to Y$ が与えられているとき、
  1. $ X$ の部分集合 $ A$ に対して、その $ f$ による (順像とも言う) $ f(A)$

    $\displaystyle f(A)=\{ f(x) \vert x \in A\}
$

    で定義する。

  2. $ Y$ の部分集合 $ B$ に対して、その $ f$ による逆像 $ {f}^{-1}(B)$

    $\displaystyle {f}^{-1}(B)=\{ x \in X ; f(x)\in B\}
$

    により定義する。

$ f(A)$ は、「$ A$ の元を $ f$ で送ったモノの全体」、 $ {f}^{-1}(B)$ は 「$ f$ で送って $ B$ に入るモノの全体」と唱える癖を つけておくと扱い易い。

$ {f}^{-1}$ は(見かけによらず)集合論的には使いやすい。 つまり、$ {f}^{-1}$ はさまざまな集合算と可換である。

命題 9.2   写像 $ f: X\to Y$ に対して、次のことを示しなさい。
  1. 任意の $ B_1, B_2 \subset Y$ に対して、 $ {f}^{-1}(B_1\cap B_2)={f}^{-1}(B_1)\cap {f}^{-1}(B_2)$ .
  2. 任意の $ B_1, B_2 \subset Y$ に対して、 $ {f}^{-1}(B_1\cup B_2)={f}^{-1}(B_1)\cup {f}^{-1}(B_2)$ .
  3. 任意の $ B\subset Y$ に対して、 $ {f}^{-1}(\complement B)= \complement({f}^{-1} (B))$ .
  4. $ Y$ の無限個の部分集合族 $ \{B_\lambda\}_{\lambda \in \Lambda}$ について、

    % latex2html id marker 1134
$\displaystyle {f}^{-1}(\bigcap_{\lambda \in \Lambd...
...a \in \Lambda} B_\lambda)=
\bigcup_{\lambda \in \Lambda} {f}^{-1}( B_\lambda).
$

$ f$ の像については一部の集合算と可換ではない。 詳しくは集合論の本を見ればよいが、 さしあたっては実例が現れた時にその都度考えるぐらいで 十分だろう。次の諸問題も参照のこと。

問題 9.1   $ X =\{0,1,2,3,\dots, 20\}$ , $ Y=\{0,1,2,\dots,10\}$ とおき、 $ f: X\to Y$

$ f(x)=$ ($ x$$ 5$ で割った余り)

で定義する。このとき、

  1. $ A_1=\{0,1\}$ とおく。$ f(A_1)$ を求めよ。
  2. $ A_2=\{0,11\}$ とおく。 $ f(A_2)$ をもとめよ。
  3. $ f(A_1 \cap A_2)$ をもとめよ。 (この例の場合、 $ f(A_1\cap A_2)=f(A_1)\cap f(A_2)$ だろうか?)
  4. $ f(A_1 \cup A_2)$ をもとめよ。 (この例の場合、 $ f(A_1\cup A_2)=f(A_1)\cup f(A_2)$ だろうか?)
  5. $ B_1=\{0,3\}$ とおく。 $ f^{-1}(B_1)$ をもとめよ。
  6. $ B_2=\{0,5\}$ とおく。 $ f^{-1}(B_2)$ をもとめよ。
  7. $ f^{-1}(B_1 \cap B_2)$ をもとめよ。 (この例の場合、 $ f^{-1}(B_1\cap B_2)=f^{-1}(B_1)\cap f^{-1}(B_2)$ だろうか?)
  8. $ f^{-1}(B_1 \cup B_2)$ をもとめよ。 (この例の場合、 $ f^{-1}(B_1\cup B_2)=f^{-1}(B_1)\cup f^{-1}(B_2)$ だろうか?)

問題 9.2   $ f:$$ \mbox{${\mathbb{R}}$}$$ ^2 \ni (x,y)\to x\in$   $ \mbox{${\mathbb{R}}$}$ にたいして、つぎの各問に答えよ。
  1. $ A_1=\{(x,y)\in$   $ \mbox{${\mathbb{R}}$}$% latex2html id marker 1199
$ ^2; \vert x\vert\leq 1$    and % latex2html id marker 1200
$ \vert y\vert\leq 1\}$ にたいして、 $ f(A_1)$ を求めよ。
  2. $ A_2=\{(x,y)\in$   $ \mbox{${\mathbb{R}}$}$% latex2html id marker 1206
$ ^2; (x-1)^2+(y-3)^2\leq 1 \}$ にたいして、 $ f(A_2)$ を求めよ。
  3. $ f(A_1 \cap A_2)$ を求め、グラフの概形を描け。
  4. $ f(A_1)\cap f(A_2)$ を求め、グラフの概形を描け。
  5. $ f(A_1 \cup A_2)$ を求め、グラフの概形を描け。

問題 9.3   $ f:$$ \mbox{${\mathbb{R}}$}$$ ^3 \ni (x,y,z)\to (x,y)\in$   $ \mbox{${\mathbb{R}}$}$ にたいして、
  1. $ {f}^{-1}(\{(0,0)\})$ を求め、グラフの概形を描け。
  2. $ {f}^{-1}(\{1,1)\})$ を求め、グラフの概形を描け。
  3. % latex2html id marker 1230
$ {f}^{-1}(\{(x,y)\vert x^2+y^2\leq 1\})$ を求め、グラフの概形を描け。
  4. % latex2html id marker 1232
$ {f}^{-1}(\{(x,y)\vert\vert x+y\vert\leq 1\})$ をもとめ、グラフの概形を描け。

◎直積集合

次のことは今回の本題とは離れるが、 説明し損なったのでここで定義を書いておく。

一般に, 元 $ x$ と 元 $ y$ を順序をつけて並べたもの $ (x,y)$$ x,y$ のペア(組)と呼ぶ。 $ x,y$ が実数の場合には開区間と全く同じ記号になってしまっていて、 紛らわしいのだが、 区別するときには「区間 $ (x,y)$ 」,「ペア(組) $ (x,y)$ 」と前につけると 良いだろう。

定義 9.3   集合 $ X,Y$ に対して、$ X$ の元と $ Y$ の元のペアの全体の集合

$\displaystyle \{(x,y); x \in X , y\in Y\}
$

$ X$$ Y$直積集合といい、 $ X\times Y$ で書き表す。

もっと一般に、 集合族 $ \{X_\lambda\}_\lambda \in \Lambda$ に対して、

$\displaystyle \{(x_\lambda)_{\lambda \in \Lambda}; x_\lambda \in X_\lambda \}
$

$ \{X_\lambda\}$直積集合といい、 $ \prod_{\lambda \in \Lambda}X_\lambda$ で書き表す。


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Yoshifumi Tsuchimoto 2016-06-20