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代数学 IB No.3要約

今日のテーマ: \fbox{イデアル、「生成されるイデアル」}

定義 3.1   $ R$ は単位元をもつ環であるとし、$ I$ はその部分集合であるとする。 $ I$$ R$イデアルであるとは、 次の条件が成り立つ ときにいう。
  1. $ I$$ (R,+)$ の部分群である。 すなわち、$ I$$ R$ の加・減法について閉じている。
  2. $ I$ の元に $ R$ の元を右から掛けても左から掛けてもやっぱり $ I$ の元になる。 すなわち、 任意の $ x \in I$ と任意の $ r\in R$ について、

    $\displaystyle rx\in I , xr \in I
$

    が成り立つ。

例 3.1 (イデアルの例)  
  1. $ 10{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ のイデアルである。
  2. もっと一般に、$ n>0$ にたいして、 $ n{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ のイデアルである。
  3. 更に一般に、任意の可換環 $ R$ と 任意の $ a\in R$ にたいして、 $ a R$$ R$ のイデアルである。
  4. 任意の環 $ R$ に対して、 $ \{0\}$$ R$ のイデアルである。

「生成される部分環」を扱った時と同じ議論で、次のことが成り立つことがわかる。

補題 3.1   $ R$ の部分集合 $ S$ が与えられているとする。このとき、$ S$ を 含む $ R$ のイデアルのうち、最小のものが存在する。 (これを $ S$ で生成される $ R$ のイデアルといい、 $ \langle S \rangle_{R\text{-イデアル}}$ とか、 $ (S)$ と 書く。)

例 3.2   環 $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ のイデアルとして、次のことが成り立つ。
  1. $ (2)=2 {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ .
  2. $ (10)=10 {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ .
  3. $ (12,18)=6 {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ .
  4. $ (10,24)=2{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ .

例 3.3   環 $ \mbox{${\mathbb{Q}}$}$ のイデアルとして、次のことが成り立つ。
  1. $ (2)=$$ \mbox{${\mathbb{Q}}$}$ .
  2. $ (10)=$$ \mbox{${\mathbb{Q}}$}$ .
  3. $ (12,18)=$$ \mbox{${\mathbb{Q}}$}$ .
  4. 上の例に限らず全ての $ \mbox{${\mathbb{Q}}$}$ のイデアルは $ \{0\}$ $ \mbox{${\mathbb{Q}}$}$ 自身である。

上の2つの例を比較すると分かるように、どの環で考えるかが大変重要である。

問題 3.1   $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ のイデアル $ I$$ 4615$$ 1469$ を元として含むとき、 $ 13$$ I$ の元であることを示しなさい。



2016-10-14