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代数学 IB No.5要約

\fbox{今日のテーマ} 《剰余環、素イデアル、極大イデアル》

前回までに、環 $ R$ の、そのイデアル $ I$ による剰余環について解説した。

$\displaystyle \bar{x}=\bar{y} {\Leftrightarrow}x-y \in I
$

なる判定法により $ R$ にクラス分けが入ること、$ R/I$ に加法、乗法が 代表元のとり方によらずに定まることがポイントであった。 たとえば $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/11 {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ において、

$\displaystyle \overline{153}\times \overline{493}
$

を計算するのに、 $ \overline{153\times 493}$ を計算してもよいが、 $ \overline{153}=\overline{-1}, \overline{493}=\overline{-2}$ と代表元を取り換えてから $ \overline{-1}\times \overline{-2} $ とやっても良いわけである。

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次のことにも注意しておこう。

一般に、$ R/I$ とは環 $ R$$ I$ の各元 $ x$ に応じた関係式 $ x=0$ を 新たに導入しててきた環である。例えば:

$ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/n{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ のような剰余環の性質は、いままで知っていた数のものとは若干異なる。 そのことを説明するために、いくつかの言葉を用意しておく。

定義 5.1   可換環 $ R$ の元 $ x$$ R$零因子であるとは、 $ xy=0$ かつ % latex2html id marker 1070
$ y\neq 0$ をみたす $ R$ の元 $ y$ が存在するときに言う。

定義 5.2   可換環 $ R$ があたえられたとする。
  1. $ R$ に 0 以外の零因子がないなら、 $ R$整域であるという。
  2. $ R$ の 0 以外の元が $ R$ で可逆であるとき、$ R$であるという。

もちろん、体は必ず整域である。

定義 5.3   可換環 $ R$ のイデアル $ I$ (% latex2html id marker 1104
$ R\neq I$ )について、
  1. $ R/I$ が整域であるとき、$ I$$ R$ の素イデアルであるという。
  2. $ R/I$ が体であるとき、$ I$$ R$ の極大イデアルであるという。

これらの名前の由来はもっとあとのほうで述べる。 さしあたっては、次の例が重要である。

例 5.1  
  1. $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ のイデアル $ \{0\}$ $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ の素イデアルであるが、 極大イデアルではない。
  2. 素数 $ p$ があたえられたとき、 $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ のイデアル $ p {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ の極大イデアルである。
  3. 正の整数 $ n$ が素数でないとき、 $ n {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ のイデアルではあるが、 素イデアルではない。

定義 5.4   素数 $ p$ が与えられたとき、 $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/p {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ は(上の例に述べたように)元の数が $ p$ の体である。 この体を $ {\mathbb{F}}_p$ と書く。


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2016-10-31