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代数学 IB No.7要約

\fbox{今日のテーマ} 《多項式環の扱い方と環準同型定理》

$ R$ から $ S$ への準同型 $ f$ が与えられたとき、 写像に関する一般論から $ f$ による $ R$ のクラス分けができる。 それは $ \operatorname{Ker}(f)$ による $ R$ のクラス分けと一致するのでした。

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$ R$ 上の一変数多項式環 $ R[X]$ とは、 $ R$ の元と、一つの変数 $ X$ とで生成される 環であった。同様に $ R[X_1,X_2,\dots,X_n]$ を定義することができる。 その出自から当然、次の補題が成り立つ

補題 7.1   任意の環 $ R$ について、

$\displaystyle R[X][Y]\cong R[X,Y]
$

という自然な同型が存在する。 もっと一般に

$\displaystyle R[X_1,X_2,\dots,X_n] \cong R[X_1,X_2,\dots,X_{n-1}][X_n]
$

がなりたつ。

命題 7.1 (代入原理)   $ S$ とその部分環 $ R$ が与えられているとする。 このとき、任意の $ S$ の元の$ n$ 個の組 $ s=(s_1,s_2,\dots,s_n)$ にたいして、 次のような環準同型 $ \psi_s[X_1,X_2,\dots,X_n] \to S$ が 唯一つ存在する。
  1. % latex2html id marker 886
$ \psi(r)=r \qquad(\forall r\in R),$
  2. % latex2html id marker 888
$ \psi(X_j)=s_j\qquad (j=1,2,3,\dots,n).$
さらに、$ \psi$ は次のような形で与えられる。

$\displaystyle \psi(p)=p(s_1,s_2,\dots,s_n)
$

例 7.1   環としての同型 $ \mbox{${\mathbb{R}}$}$$ [X]/(X^2+1)$$ \mbox{${\mathbb{R}}$}$$ [X] \cong {\mathbb{C}}$ が 存在する。 $ \mbox{${\mathbb{R}}$}$$ [X]$ から $ {\mathbb{C}}$ への写像 $ f$ を、

% latex2html id marker 911
$\displaystyle f(p)=p(\sqrt{-1})
$

で定めると、次のことが分かる。
  1. $ f$ は写像としてうまく定義されている。
  2. $ f$ は環の準同型である。
  3. $ f$ の像は $ {\mathbb{C}}$ 全体である。
  4. $ f$ の核は $ (X^2+1)$$ \mbox{${\mathbb{R}}$}$$ [X]$ である。
よって、準同型定理により、

   $\displaystyle \mbox{${\mathbb{R}}$}$$\displaystyle [X]/(X^2+1)$$\displaystyle \mbox{${\mathbb{R}}$}$$\displaystyle [X] \cong {\mathbb{C}}
$

が結論される。

問題

環準同型 $ f: {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}[X] \to {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ が与えられていて、$ f(X)=3$ だと 分かっているとする。 このとき、

  1. 多項式 $ X^2+3X+5 \in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}[X]$$ f$ による像を具体的に求めなさい。
  2. $ \operatorname{Ker}(f)$ の元で、 0 と異なるものを具体的に3つあげなさい。



2016-11-11