代数学 IB No.9要約

《割り算の原理(ユークリッド環)》 前回は余りを許したわり算のできる環(ユークリッド環)の定義をした。 ユークリッド環においては、ユークリッドの互除法が実行できるのであった。

&dotfill#dotfill;

今回は、前回積み残した命題の証明を行う。さらに、 イデアルの包含関係と数の整除の関係、ユークリッドの互除法のイデアル論的な 意義について解説する。

定義 9.1   環 $R$ がユークリッド環であるとは、整列順序集合 $W$ と 写像 $\rho:R\to W$ (「重さ」を調べる写像)があって、 次の性質を満たすときに言う

1. $R$ の元 $a$ の「重さ」 $\rho(a)$ が最小 ${\Leftrightarrow}$ $a=0$
2. $R$ の元 $a,b$ $(a\neq 0)$ に対して、
   $$b=aq+r,\quad q,r\in R, \quad \rho(r)<\rho(a)$$
   となる $q,r$ が存在する。

(「$W$ が整列集合である」とは、$W$ は順序集合であって、しかも 「$W$ の任意の部分集合 $X$ は最小元を持つ」というときにいう。 この定義が難しく感じられる諸君には $W=\mathbb{N}$ と思っても初級の段階には充分である。 )

定義 9.2   環 $R$ のイデアル $I$ が単項イデアルであるとは、 ある $a\in R$ が存在して、 $I=(a)$ が成り立つときに言う。

$R$ の全てのイデアルが単項イデアルであるとき、 $R$ は単項イデアル環であると言う。

定理 9.1   ユークリッド環は単項イデアル環である。

系 9.2   整数 $a,b$ が与えられているとし、その最大公約数を $d$ とおく。このとき、

$$al+bm=d$$

をみたす整数 $l,m$ が存在する。

系 9.3   $k$ を体とする。$k$ 上の多項式 $a,b$ が与えられているとし、その最大公約数を $d$ とおく。このとき、

$$a(X)l(X)+b(X)m(X)=d(X)$$

をみたす$k$ 上の多項式 $l,m$ が存在する。

定義 9.3   環 $R$ と $a,b\in R$ とにたいして、

1. $a \in b R$ のとき、 $a$ は $b$ の倍元であるといい、 $b\vert a$ で書き表す。$b$ を主語として、$b$ は $a$ の約元であるともいう。
2. ある $u \in R^\times$ があって、$a=bu$ をみたすとき、$a$ と $b$ とは 同伴であるという。

命題 9.4   整域 $R$ の元 $a,b$ にたいして、

1. $(a) \subset (b) {\Leftrightarrow} b\vert a$ .
2. $a$ と $b$ が同伴 ${\Leftrightarrow}$ $(a)=(b)$ .

一般に、単項イデアル環 $R$ において、 2つの元 $a,b$ で生成されるイデアル $(a,b)$ は、単項であるから $(d)=(a,b)$ なる $d\in R$ が存在するはずである。この $d$ は $a,b$ の最大公約元 (gcd) である。

問題 9.1   5桁以上の2つの数 $a,b$ を具体的に挙げ、その gcd $d$ を互除法を用いて求め、 その $a,b,d$ について イデアルの等式 $(a,b)=(d)$ を一般論によらずに 証明せよ。 他の人と $a,b$ が重ならないこと、簡単になりすぎないことに留意すること。