代数学 IB No.15要約

命題 15.1   整域 $R$ について、次の条件を考える。

(条件1).

$R$ はネーター環である。

(条件2).

任意の $a,b\in R$ に対して、ある $d$ という $R$ の 元が存在して、 $(a,b)=(d)$ を満たす。

(条件3).

$R$ の既約元はすべて素元である。

このとき、

1. $R$ がED であれば、(条件1) と(条件2) が成り立つ。
2. $R$ がPID であることは、((条件1) and (条件2)) と同値である。
3. (条件 2) から (条件3)が従う。
4. (条件1)and (条件3)から $R$ が UFD であることが従う。

$R$ の任意のイデアルが有限個の元で生成される 場合に言うのであった。

補題 15.1   ネータ環のイデアルの増大列も、必ずどこかで止まる。

定義 15.1   $R_1,R_2$ は環であるとする。このとき、$R_1,R_2$ の環としての直積 とは、デカルト積集合 $R_1\times R_2$ の上に、 次のような演算を定義したものである。

$$(a,b) + (c,d)=(a+c,b+d), \quad (a,b)\times (c,d)= (ac,bd)$$

$R_1$ と $R_2$ の環としての直積を、普通 $R_1\times R_2$ と書く。

補題 15.2   $R_1,R_2$ は環であるとする。このとき、

1. $R_1\times R_2$ は環になる。
2. $R_1,R_2$ の単位元 がそれぞれ $1_{R_1},1_{R_2}$ とすると、 $R_1\times R_2$ の単位元は $(1_{R_1},1_{R_2})$ である。
3. $R_1,R_2$ がともに可換ならば、 $R_1\times R_2$ も可換である。

命題 15.2   環 $R$ の元 $a,b$ が $(a,b)=(1)$ を満たすとき、

$$R/(a b)\ni [x]_{ab} \mapsto ([x]_a, [y]_b) \ni R/(a) \times R/(b)$$

なる写像は環の同型を与える。