理工系線形代数学 No.1要約

行列とはなにか。

定義 1.1   $m,n$ を正の整数とする。 $m \times n$ 個の実数を

$$A= \begin{bmatrix} a_{1 1} & a_{1 2 }& \dots& a_{1 n}\\ a_{2 1} ... ...m 2 }& \dots& a_{m n} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} a_{ij} \end{bmatrix}_{ij}$$

と並べたものを $m,n$ -行列という。

行と列を混乱しないように覚えるには、数学のノートを思い出せば良い。 1行目、2行目、3行目etc. が第1行、第2行、第3行etc である。

定義 1.2 (行列の和)   ２つの $m,n$ 行列に対して、その和を、成分同士の和を成分とするように定義する。 つまり、 $A =[a_{ij}]_{ij}, B=[b_{ij}]_{ij}$ にたいして、 $A +B=[a_{ij} + b_{ij}]_{ij}$ .

和は行列がおなじサイズのときのみ定義される。

定義 1.3 (行列のスカラー倍)   $m,n$ 行列 $A$ と、実数 $c$ に対して、$A$ の $c$ 倍 $c A$ を 各成分の $c$ 倍を成分とするように定義する。 つまり、 $A =[a_{ij}]_{ij}$ にたいして、 $c A =[c a_{ij} ]_{ij}$ .

定義 1.4   $A =[a_{ij}], B=[b_{kl}]$ のとき その積 $AB$ は

$$\begin{bmatrix} \sum_j a_{ij} b_{jk} \end{bmatrix}_{i k}$$

により与えられる。

サイズが合わないと積は定義されない。$A$ が $m,n$ -行列, $B$ が $k,l$ -行列のとき、 積 $AB$ は $n=k$ の場合のみ定義される。

※問題

問題 1.1   $a,b,c,p,q,r$ は実数とする。このとき

$$\begin{bmatrix} a & b & c \\ 1 & 2 &... ...ix}\begin{bmatrix} 1 &0 & p & 1 \\ 0 &1 & q & 2 \\ 0 &0 & r & 3 \end{bmatrix}$$

を計算せよ。