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理工系線形代数学 No.3要約

今日のテーマ:連立方程式の解法と行基本操作

連立一次方程式は行列算で表現できる。例えば、

\begin{equation*}
\left \{
\begin{aligned}
& x + y= 5 \\
&2 x + 4 y =16
\end{aligned}\right .
\end{equation*}

$\displaystyle \begin{bmatrix}
1 & 1 \\
2 & 4
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
x \\
y
\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
5 \\
16
\end{bmatrix}$

と表現できる。 さらに、 $ A=\begin{bmatrix}
1 & 1 \\
2 & 4
\end{bmatrix}$ , $ \mathbbm x=
\begin{bmatrix}
x \\
y
\end{bmatrix}$ , $ \mathbbm b
=
\begin{bmatrix}
5 \\
16
\end{bmatrix}$ とおけば、 これは更に簡潔に $ A \mathbbm x= \mathbbm b$ と表記できる。

更に次のような方程式を考えてみよう。

$\displaystyle \begin{bmatrix}
1 & 1 \\
2 & 4 \\
4 & 5
\end{bmatrix}\begin{bma...
...
y \\
\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
5 \\
16 \\
23
\end{bmatrix}\tag{あ}
$

$\displaystyle \begin{bmatrix}
1 & 1 \\
2 & 4 \\
4 & 5
\end{bmatrix}\begin{bma...
...
y \\
\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
5 \\
16 \\
20
\end{bmatrix}\tag{い}
$

$\displaystyle \begin{bmatrix}
1 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 1 \\
1 & 0 & 1
\end{bmatri...
...
y \\
z
\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
2 \\
4 \\
6
\end{bmatrix}\tag{う}
$

$\displaystyle \begin{bmatrix}
1 & 1 &0 \\
0 & 1 & 1 \\
2 & 4 & 2
\end{bmatrix...
...
y \\
z
\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
1 \\
2 \\
3
\end{bmatrix}\tag{え}
$

$\displaystyle \begin{bmatrix}
1 & 1 &0 \\
0 & 1 & 1 \\
2 & 4 & 2
\end{bmatrix...
...
y \\
z
\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
3 \\
5 \\
16
\end{bmatrix}\tag{お}
$

これらの連立方程式は「加減法」によって解けるのであった。 行列でも同じことを行うことができる。行列の行基本操作 とは、
  1. 2つの行を入れ替える。
  2. 特定のひとつの行に、別の行の定数倍を加える。
  3. 特定の一つの行を定数倍する。
という操作のことを言う。

行列は行基本操作を何度も行うことにより、簡単な行列に変形することができる。 このことは、方程式を解くときはもちろん、それ以外の目的でも大変重要である。



2017-05-15