理工系線形代数学 No.6要約

今日のテーマ:行列式

定義 6.1 (符号)   $\{1,2,\dots,n\}$ の順列 $\sigma$ が与えれらているとする。 $1,2\dots, n$ を平面上に一直線上に並ぶように等間隔で並べて描き、 その下にも 同じもののコピーを掻いておく。 $1$ と $\sigma(1)$ ,$2$ と $\sigma(2)$ ,..., $n$ と $\sigma(n)$ とを それぞれなめらかな曲線で結ぶ。(ただし三曲線が一点に会さないようにする。) このとき、曲線同士の交点の数の総数を $n$ とおくと、

$$(-1)^n$$

は $\sigma$ にしかよらない。この数を $\operatorname{sgn}(\sigma)$ と書いて、 $\sigma$ の符号と呼ぶことにする。

定義 6.2   正方行列 $A$ に対して、

$$\operatorname{det}(A) =\sum_\sigma \operatorname{sgn}(\sigma) a_{... ...ma(2)} a_{3 \sigma(3)} \cdot \dots \cdot a_{{n-1} \sigma(n-1)} a_{n \sigma(n)}$$

(和は $\{1,2,\dots \}$ の順列 $\sigma$ 全てに渡る) のことを $A$ の行列式という。

命題 6.3   $\operatorname{det}$ について、以下のことが成り立つ。

1. $\operatorname{det}$ は多重線形である。すなわち、$A,B,C$ の３つがどれも $1$ 列目以外が一致する 行列で、$A,B,C$ の$1$ 列目をそれぞれ $\mathbbm u,\mathbbm v,\mathbbm w$ と書いた時、 $c_1 \mathbbm u + c_2 \mathbbm v = \mathbbm w$ を満たすならば、 $\operatorname{det}(c_1 A+ c_2 B)=\operatorname{det}(C)$ が成り立つ。
2. $\operatorname{det}$ は交代的である。すなわち、$A$ の列ベクトルに 同じものが現れたなら、必ず $\operatorname{det}(A)=0$ である。
3. $\operatorname{det}(1_n)=1$ .

逆に、多重線形かつ交代的な写像 $f: M_n($$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$) \to$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ が与えられたとき、 $f(A)=f(1_n) \operatorname{det}(A)$ が成り立つ。

注意: 多重線形性の仮定のもとで、交代性から、「行列 $A$ の２つの列をいれかえた行列を $A'$ と書いたとき、 $\operatorname{det}(A)=-\operatorname{det}(A')$ が成り立つ。」 ということをいうことができる。

命題 6.4   $\operatorname{det}(AB)=\operatorname{det}(A)\operatorname{det}(B)$ が任意の $A,B \in M_n($$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$)$ に対して成り立つ。

定義 6.5   行列 $A$ が与えられた時、その $i$ 行と $j$ 列を引っこ抜き, その行列式をとって ついでに符号 $(-1)^{i+j}$ をつけたものを $A$ の余因子といい、 $A_{ij}$ で書き表す。

補題 6.6   $A$ の $1$ 列目が基本列ベクトル $e_i$ に等しいならば、 $\operatorname{det}(A)= A_{i 1}$ .

(もっと一般に、$A$ の $j$ 列目が $e_i$ に等しいならば、 $\operatorname{det}(A)=A_{ij}$ .)

命題 6.7   任意の $n$ 次正方行列 $A=(a_{ij})$ に対して、

$$\operatorname{det}(A)=\sum_{j=1}^n a_{1j} A_{1j}$$

が成り立つ。