理工系線形代数学 No.14要約

今日のテーマ: 行列の対角化。

命題 14.1   $n$ 次正方行列 $A$ の固有値 $\lambda_1,\dots, \lambda_n$ の固有ベクトル $P=\begin{bmatrix} \mathbbm v_1 \dots \mathbbm v_n \end{bmatrix}$ に対して、 $AP=P\cdot {\operatorname{diagonal}}(\lambda_1,\dots, \lambda_n)$ が成り立つ。とくに $\mathbbm v_1,\dots, \mathbbm v_n$ が、一次独立ならば、 $P$ は可逆で、

$$P^{-1}AP= {\operatorname{diagonal}}(\lambda_1,\dots, \lambda_n) \tag{★}$$

が成り立つ。(★)を $A$ の対角化という。

命題 14.2   $P$ を $n$ 次の正方行列、$P$ は可逆だとする。 このとき、任意の$n$ 次正方行列 $A_1,A_2$ に対して次のことがなりたつ。

1. $P^{-1} (c_1A_1+ c_2A_2)P= c_1 P^{-1} A_1 P + c_2 P^{-1} A_2P$ . ( $c_1,c_2 \in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ ).
2. $P^{-1} (A_1 A_2)P= P^{-1} A_1 P P^{-1} A_2P$ .

命題 14.3   $A,P$ を $n$ 次の正方行列、$P$ は可逆だとする。 $B=P^{-1} AP$ とおくとき、$B$ が対角行列であるか否かにかかわらず、

1. 任意の多項式 $f(x)$ に対して、
   1. $P^{-1}f(A)P=f(B)$
   2. $\operatorname{det}(f(A))=\operatorname{det}(f(B)).$ .
   3. $A$ の固有多項式と $B$ の固有多項式は等しい。

2. とくに、 $P^{-1} A P={\operatorname{diagonal}}(\lambda_1\dots, \lambda_n)$ のときには、
   1. $f(A)=P {\operatorname{diagonal}}(f(\lambda_1),\dots,f(\lambda_n))P^{-1}.$ .
   2. $\operatorname{det}(f(A))=f(\lambda_1)\cdot \dots\cdot f(\lambda_n).$
   3. $A$ の固有多項式は $(x-\lambda_1)(x-\lambda_2)\dots (x-\lambda_n)$ と等しい。

*上の命題の極限を考えることにより、行列の $\exp,\sin,\cos$ も 同様に計算することができる。これは微分方程式の解法などでとくに有用である。

命題 14.4   $n$ 次正方行列 $A$ の固有値 $\lambda_1,\dots, \lambda_k$ の固有ベクトル $\mathbbm v_1 \dots \mathbbm v_k$ があったとする。もし、 $\lambda_1,\dots \lambda_k$ がどれも異なれば、 $\mathbbm v_1 \dots \mathbbm v_k$ は一次独立である。

系 14.1   $n$ 次正方行列 $A$ の$n$ 個の固有値が実数で、互いに相異なれば、$A$ は 対角化可能である。

*話を複素数にまで拡張しておくと、つぎのように単純化される。

系 14.2   $n$ 次複素正方行列 $A$ の$n$ 個の固有値が互いに相異なれば、$A$ は 対角化可能である。

* 行列 $N= \displaystyle \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$ の固有値は $0,0,0$ で、固有ベクトルは ${}^t [1,0,0]$ の 一つだけである。よって $N$ は対角化できない。 $$\begin{bmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix}=2 1_3 + N$$ の固有値は $2,2,2$ で、対角化できない。 一般の、対角化不可能な行列については、座標変換で「ジョルダンの標準形」までは 持っていくことができる。詳しくは線形代数の進んだ成書を参考のこと。