理工系線形代数学 No.15要約

今日のテーマ: 補足

命題 15.1  

$$A= \begin{bmatrix} A_1 & 0 \\ * & A_2 \end{bmatrix}$$

とブロック区分けされたとする。このとき、 $\operatorname{det}(A)=\operatorname{det}(A_1)\operatorname{det}(A_2)$ であり、$A$ の固有多項式は $A_1,A_2$ の 固有多項式の積と等しい。

命題 15.2   実数 $\theta$ が与えられたとする。原点を中心とする $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^2$ の回転は $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^2$ の線形変換であり、それを表現する行列は

$$R(\theta) = \begin{bmatrix} \cos(\theta) & -\sin(\theta) \\ \sin(\theta) & \cos(\theta) \end{bmatrix}$$

に等しい。

$R(\theta)$ の固有値は複素数 $\pm i$ であり、対角化は 複素数の範囲で行う必要が生じる。そのことを踏まえたうえで、 $R(\theta)$ の対角化を書いてみると:

$$P^{-1} R(\theta)P = \begin{bmatrix} z... ... \begin{bmatrix} 1& 1 \\ -i & i \end{bmatrix}, z=\cos(\theta)+i \sin(\theta))$$