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1=8

代数学 IA No.8要約

\fbox{今日のテーマ} 《二面体群・正規部分群》

% latex2html id marker 961
$ \zeta_n=\exp(\dfrac{2\pi\sqrt{-1}}{n})$ とおく。 複素平面からそれ自身への全単射のうち、

  1. $ \zeta_n$ 倍する写像」を $ a$ とおく。 すなわち、

    $\displaystyle a(z)=\zeta_n z.
$

  2. 「複素共役を取るという写像」を $ b$ とおく。 すなわち、

    $\displaystyle b(z)=\bar z.
$

  3. $ a,b$ で生成される群を二面体群といい、 $ \mathbb{D}_n$ と書く。

$ \mathbb{D}_n$ を書き表すにはいくつか方法がある。

◎ 生成元と関係式による表示。

命題 8.1   二面体群 $ \mathbb{D}_n$ と、上のように決まった $ a$ , $ b$ について、
  1. $ a^n=e$ (単位元( $ {\mathbb{C}}$ の恒等写像)).
  2. $ b^2=e$ .
  3. $ b a b^{-1}=a^{-1}$ .
  4. $ \mathbb{D}_n$ の元は $ a^i b^j $ $ (i\in\{0,1,2,\dots,n-1\},\ j\in \{0,1\})$ と一意に書ける。特に、 $ \mathbb{D}_n$ の位数は $ 2n$ である。

$ \mathbb{D}_n$ の群演算を書き下すには、 $ a^n=e, b^2=e, b a b^{-1}=a^{-1}$ があれば良いということが分かる。そのいみで、

$\displaystyle \mathbb{D}_n=\langle a,b; a^n=e, b^2=e, b a b^{-1}=a^{-1} \rangle
$

と書く。

◎ 置換としての表現

$\displaystyle a \leftrightarrow (1 \ 2 \ 3 \ ... \ n)
$

$\displaystyle b \leftrightarrow
\begin{pmatrix}
1&2&3&4& \dots & n-1 &n \\
n-1& n-2& n-3&n-4&\dots & 2 &1
\end{pmatrix}$

という対応により $ \mathbb{D}_n$ $ \mathfrak{S}_n$ の部分群とみなすことができる。

◎ 実行列としての表示。 $ a,b$ はともに $ {\mathbb{C}}$ から $ {\mathbb{C}}$ への実線形写像であることに着目する。

% latex2html id marker 1028
$\displaystyle a
\leftrightarrow
\begin{pmatrix}
\c...
...matrix},\qquad
b
\leftrightarrow
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{pmatrix}$

(但し $ \theta_n=\dfrac{2 \pi}{n}$ )

$ \mathbb{D}_n$ は非可換な群である。一般に、非可換の群をその部分群で 割る(クラス分けする)際には左、右の別が必要である。

定義 8.2   群 $ G$ の部分群 $ H$ が与えられているとする。このとき、$ x,y\in G$$ H$ を法として左同値であるとは、

% latex2html id marker 1047
$\displaystyle \exists h \in H \quad h x=g
$

のときにいう。これは同値関係を定義する。その同値類の集合を $ H\backslash G$ と書く。

同様に、右同値、$ G/H$ が定義される。

$ H\backslash G$ は集合の差の記号 $ H\setminus G$ とよく似ているが、 後者は空集合であるからまず使わない。すなわちちょっと考えれば区別がつく。

例 8.3   $ \mathbb{D}_n$ の部分群として $ H=\langle a \rangle$ を考える。 左クラス分けは

$\displaystyle \mathbb{D}_n=H \coprod H b
$

右クラス分けは

$\displaystyle \mathbb{D}_n = H \coprod b H
$

であり、2つのクラス分けは(実は)一致する。

例 8.4   $ \mathbb{D}_n$ の部分群として $ K=\langle b \rangle$ を考える。 左クラス分けは

$\displaystyle \mathbb{D}_n=K \coprod K a \coprod K a^2 \coprod \dots \coprod K a^{n-1}
$

右クラス分けは

$\displaystyle \mathbb{D}_n=K \coprod a K \coprod a^2 K \coprod \dots \coprod a^{n-1}
K
$

であるが、2つのクラス分けは一致しない。

定義 8.5   群 $ G$ の部分群 $ H$ は、それによる左同値類と右同値類とが一致する場合に 正規部分群 であると呼ばれる。

命題 8.6   $ G$ の部分群 $ H$ が、$ [G:H]=2$ をみたすなら、$ H$$ G$ の正規部分群である。

命題 8.7   群 $ G$ の部分群 $ H$ について、次の条件は同値である。
  1. $ H$$ G$ の正規部分群である。
  2. $ \forall h \in H ,\forall g\in G $ に対して、 $ ghg^{-1} \subset H$ . すわなち $ \forall g\in G$ に対して $ gH g^{-1} \subset H$ .
  3. $ \forall g\in G$ にたいして $ g H = H g$ .

$ G$ の剰余類によるクラス分けは、もっと具体的な(例えば、幾何学的な) 意味をもつくことが多い。例えば $ \mathbb{D}_n$ の 例で、


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2017-05-31