1=9

代数学 IA No.9要約

《正規部分群・剰余群》

定理 9.1   $G$ を群、$H$ をその部分群とする。$G/H$ に次のような乗法を定めて群にしてやりたい 。

$$\overline{a} \overline{b} =\overline{ab}$$

($\bar ?$ は $?$ の $G/H$ でのクラス。) これが、代表元の取りかたによらずにうまくいって、$G/H$ が実際に群にな るためには、$H$ が正規部分群である事が必要十分である。

実際には、「必要十分」のうち、「十分」のほうがよく用いられる。すなわち、

定理 9.2   $G$ を群、$N$ をその正規部分群とする。$G/N$ は上の定理の乗法により 群の構造をもつ。

定義 9.3   上の定理で得られる群 $G/N$ を、$G$ の $N$ による剰余群(もしくは商群) とよぶ。