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代数学 IA No.12要約

\fbox{今日のテーマ}

準同型定理の適用例

例 12.1  

$ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ から $ C_n=\langle a; a^n=e \rangle $ への写像 $ \varphi$

% latex2html id marker 933
$\displaystyle \varphi(k)=a^k \quad (k \in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}})
$

で定義すると、
  1. $ \varphi$ $ ({\mbox{${\mathbb{Z}}$}},+)$ から $ C_n$ への 群準同型である。
  2. $ \operatorname{Ker}(\varphi)=n {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ .
  3. $ \operatorname{Image}(\varphi)=C_n$ . (つまり、$ \varphi$ は全射。
  4. 群の準同型定理により、 $ \operatorname{Ker}(\varphi)$ $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ の部分群であり、なおかつ群としての同型

    $\displaystyle \bar{\varphi}:{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/n {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\cong C_n
$

    $ \bar{\varphi}([k]_n)=a^k$ で定まる。

例 12.2  

$ \mbox{${\mathbb{R}}$}$ から $ {\mathbb{C}}^{\times}$ への写像 $ \varphi$

% latex2html id marker 966
$\displaystyle \varphi(x)=e^{\sqrt{-1} x}
$

で定義すると、
  1. $ \varphi$ $ ($$ \mbox{${\mathbb{R}}$}$$ ,+)$ から $ ({\mathbb{C}}^{\times},\times)$ への 群準同型である。
  2. $ \operatorname{Ker}(\varphi)=2 \pi {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ .
  3. $ \operatorname{Image}(\varphi)=\{z\in {\mathbb{C}}; \vert z\vert=1\}$ . (複素平面上の単位円周。)
  4. 群の準同型定理により、 $ \operatorname{Ker}(\varphi)$ $ \operatorname{Image}(\varphi)$ は それぞれ $ \mbox{${\mathbb{R}}$}$ , $ {\mathbb{C}}^{\times}$ の部分群であり、なおかつ 群としての同型

    $\displaystyle \bar{\varphi}:$$\displaystyle \mbox{${\mathbb{R}}$}$$\displaystyle /2 \pi {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\cong \{z\in {\mathbb{C}}; \vert z\vert=1\}
$

    % latex2html id marker 992
$\displaystyle \bar{\varphi}( x \mod 2\pi {\mbox{${\mathbb{Z}}$}})=e^{\sqrt{-1}x}
$

    により定まる。

例 12.3  

ベクトル空間 $ V$ から $ W$ への線形写像 $ f$ は、$ (V,+)$ から $ (W,+)$ への 群準同型である。従って、群の準同型定理が適用できて、 (加法)群の同型 $ V/\operatorname{Ker}(f) \cong f(V)$ が成り立つことがわかる。じつはこの同型写像は線形空間の準同型定理で 言及されているものと写像としては同じである。 (線形写像のほうがスカラー倍も考えている分だけ情報が多い。)

問題

(I).
$ ($$ \mbox{${\mathbb{R}}$}$$ ^2,+) $ から $ ($$ \mbox{${\mathbb{R}}$}$$ ^2,+) $ への写像 $ f$

$\displaystyle f
\begin{pmatrix}
x\\
y
\end{pmatrix}=
f
\begin{pmatrix}
x+y\\
0
\end{pmatrix}$

で定義するとき、$ f$ は(加法)群の準同型写像であることを示し、 その核と像を求めなさい。



2017-07-03