代数学III要約 No.2

今日のテーマ: \fbox{体に一つの代数的な元を付け加えた体}

定義 2.1   体 $ L$ の部分集合 $ K$$ L$部分体であるとは、$ K$ 自身が $ L$ の演算で体になっているときに言う。 また、このとき $ L$$ K$拡大体であるとも言う。

定義 2.2 (体に元を付け加えてできる)   体 $ L$ と、その部分体 $ K$, および $ L$ の元 $ \alpha$ が 与えられているとする。 このとき、$ K$$ \alpha$ とを含む $ L$ の部分体のうち最小のものを $ k(\alpha)$ と書き (丸括弧に注意)$ K$$ \alpha$ を付け加えてできる体と呼ぶ。

補題 2.3  

% latex2html id marker 992
$\displaystyle K(\alpha)=
\left\{
\frac{
a(\alpha)
}...
...};\quad a,b \text{は $K$ 係数の多項式}, \quad b(\alpha)\neq 0.
\right\}
$

定義 2.4   体 $ K$ は体 $ L$ の部分体であるとする。 $ \alpha\in L$$ K$ 上の ある代数方程式

% latex2html id marker 1007
$\displaystyle f(\alpha)=0 \qquad( f\in K[X], f\neq 0)
$

を満足するとき、 $ \alpha$$ K$代数的であると呼ぶ。 また、このような $ f$ のうち、次数が最小のものを $ \alpha$最小多項式と呼ぶ。

とくに断らない限り、最小多項式はモニックなものを選ぶのが普通である。

$ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ や、 体 $ K$ 上の一変数多項式環 $ K[X]$ はユークリッド環であったことを 思い出そう。これは簡単に言えばこれらの環上では 余りを許した意味での割り算が できることを意味している。

命題 2.5   体 $ K$ の拡大体 $ L$$ K$ 上の代数的な元 $ \alpha\in L$ が与えられているとする。 このとき、
  1. $ \alpha$ の最小多項式 $ f_0(X)$ は既約である。
  2. $ f\in K[X]$ $ f(\alpha)=0$ を満たすならば、 $ f$$ \alpha$ の最小多項式 $ f_0$ で割り切れる。

次のことも思い出しておこう:

命題 2.6   ユークリッド整域 $ R$ は PID である。とくに、次のことが分かる: $ R$ の元 % latex2html id marker 1059
$ p,q$ にたいして、ある $ a,b$ が存在して、

% latex2html id marker 1063
$\displaystyle a p + b q =d$ (E)

($ d$% latex2html id marker 1067
$ p,q$$ R$ での最大公約数) が成り立つ。

命題 2.7   体 $ k$ 上の 多項式 $ p(X)$% latex2html id marker 1080
$ q(X)$ が互いに素なら、 $ R=k[X]/p(X)k[X]$ のなかでの % latex2html id marker 1084
$ q(X)$ のクラス % latex2html id marker 1086
$ \overline{q(X)}$ は可逆である。 とくに、$ p$$ k[X]$ のなかで既約ならば、 $ R=k[X]/p(X)k[X]$ は体である。

上の命題で、$ p$ が既約でなければ、 環 $ R=k[X]/p(X)k[X]$ は体ではないことが容易に分かる。したがって、 $ p$ が既約であることは $ R$ が体であることの必要十分条件である。

上の命題と同様に、次のことも成り立つ。 (今回のテーマとは少しずれるが、 本講義全体のなかでは重要である。)

定理 2.8   素数 $ p$ にたいして、 $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/p {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ は体である。(この体を $ {\mathbb{F}}_p$ と書く。)

そして、今回のメインはこちら:

定理 2.9   体 $ K$ が体 $ L$ の部分体であって、 $ \alpha\in L$$ K$ 上代数的であれば、
  1. $ K(\alpha)$ の任意の元は $ \alpha$$ K$ 係数の多項式で書くことができる。
  2. $ \alpha$ の最小多項式を $ f$ とおくと、 $ K(\alpha)$ $ L_1=K[X]/f(X)K[X]$ と同型である。
  3. もっと詳しく言うと、環準同型 $ \varphi: L_1\to L$ で、 $ X$ のクラスを $ \alpha$ に写すもの が(唯一つ)あって、$ \varphi$$ L_1$$ K(\alpha)$ との同型を与える。 $ K(\alpha)$ の任意の元は $ \alpha$$ K$ 係数の多項式で書くことができる。

上の定理は、$ K$ 上代数的な数 $ \alpha$ が どんな数かロクスッポ知らなくても、 その最小多項式が 分かってさえいれば剰余環のコトバで $ K(\alpha)$ が理解できることを示している。