代数学III要約 No.3

今日のテーマ: \fbox{体に代数的な元を何個か付け加える}

一般に、 複素数体 $ {\mathbb{C}}$ や実数体 $ \mbox{${\mathbb{R}}$}$ 以外の体 $ K$ でも、線形代数で習ったはずの いろいろな事柄(線形空間、基底とその取り換え、次元。線形写像とその行列表現など) がそのまま使えることに注意しておく。心配な人はここで少し復習しておくと 良いかもしれない。

定義 3.1   $ K$ の 拡大体 $ L$$ K$ 上のベクトル空間の構造を持つ。 そこで、 $ L$$ K$-ベクトル空間としての次元のことを $ L$$ K$ 上の拡大次数 といい、 $ [L:K]$ で書き表す。 $ [L:K]<\infty$ のとき、$ L$$ K$有限次拡大であると言う。

次の命題は体の拡大次数の方程式論的な意味を明らかにする。

命題 3.2   体 $ K$ の拡大体 $ L$$ L$ の元 $ \alpha$ とが与えられているとする。 このとき、
  1. $ d=[K(\alpha):K]$ が有限であることと、 $ \alpha$$ K$ 上代数的であることは 同値である。
  2. $ d<\infty$ なら、$ d$$ \alpha$$ K$ 上の最小多項式の次数と等しい。

命題 3.3  
  1. $ K,L_1,L_2$ $ K\subset L_1 \subset L_2 $ をみたすならば 拡大次数の間に

    $\displaystyle [L_2:K]=[L_2:L_1][L_1:K]
$

    という関係式が成り立つ。
  2. $ K$ の有限次拡大体 $ L$ の元は全て $ K$ 上代数的である。

定理 3.4   体 $ K$ と、その拡大体 $ L$ が与えられているとする。 このとき、$ L$ の 元で、$ K$ 上代数的な元同士の和、差、積、商はまた $ K$ 上代数的である。つまり、$ L$ の元で $ K$ 上代数的なものの全体 は体をなす。

定義 3.5   体 $ K$ とその拡大体 $ L$ が与えられているとする。このとき $ L$ の元 $ \alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_s$$ K$ に付け加えてできた体 (言い換えると $ K$ $ \alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_s$ を含むような $ L$ の 部分体のなかで、最小のもの)を $ K(\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_s)$ と書く。 (環 $ K[\alpha_1,\alpha_2,\dots, \alpha_s]$ との違いに注意。)

命題 3.6   体 $ K$ とその拡大体 $ L$ が与えられているとする。このとき $ L$代数的な $ \alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_s$ について、次のことが成り立つ。
  1. $ \alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_s$$ K$ に付け加えてできた体 $ K(\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_s)$ の元はどれも $ K$ 上代数的である。
  2. $\displaystyle K(\alpha_1,\alpha_2,\dots, \alpha_s)=K[\alpha_1,\alpha_2,\dots, \alpha_s]
$

問題 3.1   % latex2html id marker 1033
$ \alpha=\sqrt{2}+7\sqrt[3]{5}$ $ \mbox{${\mathbb{Q}}$}$ 上代数的であることを示しなさい。

上の問題は間接的な解答でも良いわけだが、直接的に答える、 すなわち $ \alpha$ $ \mbox{${\mathbb{Q}}$}$ 上の最小多項式を実際に求めることもできる。例えば次のようにすれば良い。

問題 3.2   % latex2html id marker 1046
$ \alpha=\sqrt{2}+7\sqrt[3]{5}$ とおく。このとき、
  1. % latex2html id marker 1048
$ (\alpha-\sqrt{2})^3-1715=0$ であることを示しなさい。
  2. % latex2html id marker 1050
$ p(X)=((X-\sqrt{2})^3 -1715)((X+\sqrt{2})^3-1715)$ を展開し、それが $ \mbox{${\mathbb{Q}}$}$$ [X]$ の元であることを確かめなさい。
  3. 上の $ p$ $ p(\alpha)=0$ を満たすことを示しなさい。