代数学III要約 No.7

今日のテーマ: \fbox{体の同型を数える。}

$ K$ 上の分離代数的な元 $ \alpha_1,\alpha_2,\dots, \alpha_s$ に対して、 $ L=K(\alpha_1,\dots ,\alpha_s) $ の元 $ \gamma$ が存在して、 $ L=K(\gamma)$ とできるのであった。 この $ \gamma$$ K$ 上分離的に取れる。

$ K$ の拡大体 $ M$$ \Omega$ とがあるとき、 $ M$ から $ \Omega$ への $ K$-同型 の数を数えることにより、$ M$ の性質がある程度分かる。本日はそんな話。

定義 7.1   $ M$ から $ \Omega$ への $ K$-同型の全体の集合を

$\displaystyle \operatorname{Hom}_K^{{\operatorname{algebra}}}(M,\Omega)
$

と書く。

まず $ M$$ K$ の単純拡大のときから 考えてみよう。

補題 7.2   体 $ K$ 上の代数的数 $ \alpha$ の最小多項式を $ m(X)$ とおく。 $ K$ の拡大体 $ \Omega$ にたいして、 $ \Omega$ 内の $ m$ の根を、重複を許さずに(つまり重複を取り除いて)ならべたものを $ \gamma_1,\dots, \gamma_s$ とすると、$ K(\alpha)$ から $ \Omega$ への $ K$-同型はちょうど $ s$ 個存在する。 とくに、 % latex2html id marker 982
$ s\leq [K(\alpha):K]$で、等号は次の二つの条件がともに成り立つとき、 そしてそのときに限りなりたつ。
  1. $ \alpha$$ K$ 上分離的である。
  2. $ \Omega$$ m$ の分解体である。

上の補題は、 $ \Omega$ が十分大きいときには $ \operatorname{Hom}_K^{\operatorname{algebra}}(M,\Omega)$ の 元の数が分離性の判定に使えることを示唆している。 上の補題を何度も用いることにより、次のことが証明できる。

命題 7.3   $ K$ 上代数的な元 $ \alpha_1,\alpha_2,\dots, \alpha_t$$ K$ の拡大体 $ \Omega$ について、 $ M=K(\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_t)$ と書くと、

% latex2html id marker 1011
$\displaystyle \operatorname{Hom}_K^{\operatorname{algebra}}(M,\Omega)\leq [M:K].
$

$ \alpha_1,\alpha_2,\dots, \alpha_t$ がすべて $ K$ 上分離的で、 $ \Omega$ が それらの最小多項式すべての分解体ならば、等号が成り立つ。

ちょっとトリッキーだが、次のことにも注意しておこう。

補題 7.4   $ K$ の拡大体 $ M$ のどれかひとつの元 $ \alpha$$ K$ 上非分離的であるならば、

$\displaystyle \operatorname{Hom}_K^{\operatorname{algebra}}(M,\Omega)< [M:K].
$

証明は $ K(\alpha)$ で一旦途中下車することにより得られる。次の系は 分離性の判定が生成元だけで済むことを示しており、大切である。

7.5   $ K$ 上代数的な元 $ \alpha_1,\alpha_2,\dots, \alpha_t$$ K$ 上分離的ならば $ M=K(\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_t)$ の元は すべて分離的である。

「大きな体」$ \Omega$ に頼ってばかりいると面倒である。 これを排除するために(もちろん他の理由もあるが次のようなものを考える。

定義 7.6   $ K$ 上の代数拡大体 $ L$$ K$正規拡大であるとは、 $ L$ の任意の元の任意の共役が $ L$ に属するときにいう。 言い換えると、これは $ L$ の各元の $ K$ 上の最小多項式が必ず $ L$ 上で 一次式の積に分解されるということである。

定義 7.7   体 $ K$ の分離的でかつ正規な代数拡大をガロア拡大と呼ぶ。

$ K$ のガロア拡大 $ M$ が与えられたとすると、 上で $ \Omega$ として使っていたものの代わりに $ M$ 自身を使えることが わかる。

問題 7.1   $ \mbox{${\mathbb{Q}}$}$% latex2html id marker 1093
$ (\sqrt{7})$ $ \mbox{${\mathbb{Q}}$}$ の正規拡大であることを定義に従って確認しなさい。

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