微分積分学基礎 No.3要約

命題 3.2 区間

上で関数

が定義され、

の各点

について

が区間

に属するとする。このとき、

上の関数(

の合成関数) $g\circ f$ が

$\displaystyle (g\circ f)(x)= g(f(x))$

で定義される。さらに、

が連続なら $g\circ f$ も連続である。

定理 3.3 塀区間

上の連続関数

が狭義単調増加であるとする。すなわち、

$% latex2html id marker 895 $\displaystyle \forall x \forall y \in I \quad x< y \implies f(x)< f(y) $$

と仮定する。このとき、

の逆関数 $f^{-1}$ が定義されて、連続である。 $f^{-1}$ は

上定義される関数であって、任意の $x \in I$ に対し、 $f^{-1}(f(x))= x$ を満たし、また任意の $y \in J$ に対し、 $f(f^{-1}(y))=y$ を満たす。

定義 3.4

$\mbox{${\mathbb{R}}$}$ $\to$ $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ $_{>0}$ の逆関数を $\log(x)$ と表記し、の自然対数と呼ぶ。
$[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] \ni x \mapsto \sin(x)\in [-1,1]$ の逆関数を $\operatorname{Sin}^{-1}(x)$ とか $\arcsin(x)$ とかく。
$[0, \pi] \ni x \mapsto \cos(x)\in [-1,1]$ の逆関数を $\operatorname{Cos}^{-1}(x)$ とか $\arcsin(x)$ とかく。
$[0, \pi] \ni x \mapsto \cos(x)\in [-1,1]$ の逆関数を $\operatorname{Cos}^{-1}(x)$ とか $\arccos(x)$ とかく。
$[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] \ni x \mapsto \tan(x)\in$ $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ の逆関数を $\operatorname{Tan}^{-1}(x)$ とか $\arctan(x)$ とかく。