微分積分学基礎 No.4要約

今日のテーマ:微分

定義 4.1   実数 $a$ を含む区間上で定義された関数 $f$ にたいして、

$$\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$$

が存在するとき、$f$ は $a$ で微分可能であるという。 極限 $\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$ のことを $f'(a)$ と書き、 $f$ の $a$ における微分係数と呼ぶ。

定義 4.2 (ランダウの記号)   $\lim_{x\to a} \frac{\vert f(x)\vert}{\vert g(x)\vert}=0$ のとき、$f$ は $g$ に比べて 高位の無限小であるといい、 “$f(x)=o(g)$ ($x \to a$ のとき)” と表記する。

例 4.3   Landau の記法で言えば連続性、微分可能性は 次のように表現される。

1. $f$ が $a$ で連続であることは、
   $$f(x)=f(a)+o(1)$$
   と同値である。
2. $f$ が $a$ で微分可能であることは、 ある定数 $c$ に対して、
   $$f(x)=f(a)+c(x-a)+ o(x-a)$$
   と同値である。

定義 4.4   $f$ がある区間の各点で微分可能であるとき、 関数 $x\mapsto f'(x)$ のことを $f$ の導関数と呼ぶ。

事実 4.5   次のことはしばらく証明なしに用いる。

1. 三角関数の加法定理
   $$\sin(x+y)=\sin(x)\cos(y)+\cos(x)\sin(y)$$    (サインコス $+$ コスサイン)
   $$\cos(x+y)=\cos(x)\cos(y)-\sin(x)\sin(y)$$    (コスコス $-$ サインサイン)$$$$

2. 指数関数の指数法則
   $$e^{x+y}=e^x e^y$$

例 4.6   三角関数の加法定理、指数関数の指数法則、 $\sin(x)= x + o(x)$, $e^x = 1+ x+ o(x)$ を 知識として仮定する。このとき、

1. $\sin'= \cos$, $\cos'=-\sin$.
2. $(e^x)'= e^x.$
3. $(\log(x))'=\frac{1}{x}$