微分積分学基礎 No.12要約

今日のテーマ:積分の正値性

命題 12.1 (積分の線形性)   $ [a,b]$ で定義された連続関数 $ f,g$ と実数 $ c$ に対して、 次のことが成り立つ。
  1. $ \displaystyle
\int _a^b f(x)+g(x) dx =
\int_a^b f(x) dx + \int_a^bg(x) dx
$
  2. $ \displaystyle
\int_a^b c f(x) dx =
c \int_a^b f(x) dx
$

言うまでもないことだが、不定積分 etc も線形性をもつ。

命題 12.2 (定積分の正値性)   $ [a,b]$ 上で連続な関数 $ f$ にたいして、 % latex2html id marker 794
$ f(x)\geq 0 $ $ (\forall x \in [a,b])$ なら、

% latex2html id marker 798
$\displaystyle \int_a^b f(x) d x \geq 0.
$

12.3  
  1. $ [a,b]$ 上で連続な関数 $ f,g$ にたいして、 % latex2html id marker 809
$ f(x)\geq g(x) $ $ (\forall x \in [a,b])$ なら、

    % latex2html id marker 813
$\displaystyle \int_a^b f(x) d x \geq \int_a^b g(x) dx
$

  2. $ [a,b]$ 上で連続な関数 $ f$ と、定数 $ m,M$ にたいして、 % latex2html id marker 821
$ m \leq f(x)\leq M $ $ (\forall x \in [a,b])$ なら、

    % latex2html id marker 825
$\displaystyle m(b-a)\leq \int_a^b f(x) dx \leq M(b-a)
$

  3. $ [a,b]$ 上で連続な関数 $ f$ にたいして、 % latex2html id marker 831
$ \vert f(x)\vert\leq M $ $ (\forall x \in [a,b])$ なら、

    % latex2html id marker 835
$\displaystyle \vert\int_a^b f(x) dx\vert \leq
\int_a^b \vert f(x)\vert dx
$

  4. $ [a,b]$ 上で連続な関数 $ f$ と定数 $ M$ にたいして、 % latex2html id marker 843
$ \vert f(x)\vert\leq M $ $ (\forall x \in [a,b])$ なら、

    % latex2html id marker 847
$\displaystyle \vert\int_a^b f(x) dx\vert \leq M(b-a)
$

上記系をうまく用いることで下の定理の左辺を評価できる。

定理 12.4   $ f$$ C^{n+1}$-級であるとき、

$\displaystyle f(x)- \sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(a)}{k!} (x-a)^k
=\frac{1}{n!} \int_a^x (x-t)^n f^{(n+1)}(t) dt
$