微分積分学基礎 No.13要約

今日のテーマ:広義積分

定義 13.1   $ f$$ (a,b]$ で連続で、

$\displaystyle \lim_{c\to a+0}\int_c^b f(x) dx
=\lim_{\delta \to+0}\int_{a+\delta}^b f(x) dx
$

をもつとき、この値を $ f$$ a$ から $ b$ までの広義積分と呼び、

$\displaystyle \int_a^b f(x) dx
$

と書く。

例:

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$\displaystyle \int_0^1 \frac{dx}{\sqrt{x}}= 2.
$

$ f$$ b$ で定義されない場合や、不連続点を $ (a,b)$ の内部に持つ場合にも 同様に極限で広義積分が定義される。 区間が無限区間でも同様である。

$\displaystyle \int_0^\infty \frac{dx}{ 1+x^2}=\frac{\pi}{2}.
$