線形代数学II No.15

例題 15.1   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^2$ に標準内積を入れて、

$$\mathbbm v_1= \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \quad \mathbbm v_2= \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$$

とおく。

1. $\mathbbm v_2+$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$\mathbbm v_1$ の元で $\mathbbm v_1$ と 直交するものをすべて求めなさい。 そのうちの一つを $\mathbbm w_2$ とおく。

2. $\mathbbm v_1, \mathbbm w_2$ のそれぞれを適当な 定数倍して $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^2$ の正規直交基底を作りなさい。

例題 15.2   $a,b$ は複素数とする。

$$B= \begin{pmatrix} -3 & 2 & 0 \\ 5 & 0 & 0 \\ a & b & 3 \end{pmatrix}$$

とおく。$B$ を ${\mathbb{C}}^3$ から ${\mathbb{C}}^3$ への線形写像と同一視する。 このとき

1. $B$ の固有値をすべて求めよ。
2. $B$ の各固有値に属する固有ベクトル空間をそれぞれ求めよ。
3. $B$ を対角化せよ。

15.1

講義で言っていたものは計算が違っていたので注意。

(1)

$\mathbbm w_2 = \mathbbm v_2 -\frac{3}{2}{\mathbbm v_1} =\begin{pmatrix} -\frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} \end{pmatrix}$

(2) $\frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix}.$

15.2.

(1) $B$ の固有値は $2,-5,3$.

(2) $B$ の $2$ に対する固有ベクトルは $\begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ -2a -5b \end{pmatrix}$ $B$ の $-5$ に対する固有ベクトルは $\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ \frac{1}{8}(-a+b) \end{pmatrix}$ $B$ の $3$ に対応する固有ベクトルは $\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$

(3)

$$P= \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 5 & -1 & 0\\ -2a -5b&\frac{1}{8}(- a+b) & 1 \end{pmatrix}$$

で、

$$P^{-1} BP={\operatorname{diagonal}}(2,-5,3).$$