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代数学 IA No.13要約

\fbox{今日のテーマ} 群の直積 (+準同型定理の応用)

定義 13.1 (群の直積)   $ (G_1,\spadesuit)$ と、 $ (G_2,\heartsuit)$ とが共に群であるとする。このとき、デカルト積集合

% latex2html id marker 1034 $\displaystyle G_1\times G_2 = \{(g_1,g_2);\quad g_1\in G_1, \ g_2 \in G_2\} $

は、次のような演算 $ \diamondsuit$ により群になる。

$\displaystyle (a_1,a_2)\diamondsuit(b_1,b_2)=(a_1\spadesuit b_1,a_2 \heartsuit b_2) $

$ (G_1\times G_2, \diamondsuit)$ を $ G_1$ と $ G_2$ の(群としての)直積と呼ぶ。

例 13.2 (直積群の例)  
  1. $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/3{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\times {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}... ...\mbox{${\mathbb{Z}}$}}, b\in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/4{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\}$ は 加法 $ (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)$ に関して群になる。
  2. $ \mbox{${\mathbb{R}}$}$$ ^2=$   $ \mbox{${\mathbb{R}}$}$$ \times$   $ \mbox{${\mathbb{R}}$}$ の加法の構造は $ \mbox{${\mathbb{R}}$}$ の加法群と $ \mbox{${\mathbb{R}}$}$ の加法群 の直積としての構造であると考えることもできる。

定理 13.3 (有限巡回群の直積分解)   $ m,n$ を互いに素な正の整数とする。このとき、同型

$\displaystyle {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/mn{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\cong {\mbox{${\... ...{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\times {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/n{\mbox{${\mathbb{Z}}$}} $

が存在する。

系 13.4   $ m,n$ を互いに素な整数とすると、

$\displaystyle am+bn=1 $

となる整数 $ a,b$ が存在する。

この系自身もよく利用される。応用例として一つだけ挙げておく。

系 13.5 (系の系)   $ m,n$ を互いに素な正の整数とする。このとき、 $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/m {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ の、$ \bar{n}$ で生成される 部分群は、 $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/m {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ 自身である。

◎群と群準同型の作り方について。

  1. $ ({\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/n {\mbox{${\mathbb{Z}}$}},+)$ から 群 $ H$ への群準同型を作るには、 $ H$ の元 $ h$ (``$ 1$ の行き先'')で、 $ h^n=e_H$ をみたすものを作ればよい。
  2. 上のことは、次のように一般化できる。 正の整数 $ n$ に対して、
    1. $ n$ 個の元 $ x_1,x_2,\dots,x_n$ で生成される自由群 $ F_n=\langle x_1,x_2,\dots, x_n\rangle$ が存在する。 $ F_1$ は $ ({\mbox{${\mathbb{Z}}$}},+)$ と同型である。($ 1$ が $ x_1$ の役割をする。)
    2. $ F_n$ から他の群への群準同型を与えることは、 $ x_1,\dots x_n$ の行き先 を与えることと同じである。
    3. $ n$ 個の元で生成された群

      $\displaystyle G =\langle g_1,g_2,\dots, g_n ;$   (関係式)$\displaystyle _1,\dots$   (関係式)$\displaystyle _m\rangle $

      は、$ F_n$ を、    (関係式)$ _1,\dots$   (関係式)$ _m$ (の "g" を "x" で 置き換えたもの) で生成された正規部分群 $ N$ で割った剰余群と同型である。
    4. $ G$ から $ H$ への群準同型は、 $ x_1,\dots, x_n$ の行き先 $ h_1,\dots, h_n $ で、    (関係式)$ _1,\dots$   (関係式)$ _m$ (の "g" を "h" で 置き換えたもの)が成り立つものを与えれば良い。

問題

(I).
$ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/3 {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\times {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/3{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ は 巡回群ではないことを証明しなさい。


2017-07-13