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理工系線形代数学 No.11要約

今日のテーマ: (3次元)空間のベクトル

3次元空間の直線の表現法。 $ \{ t \mathbbm v + \mathbbm w; t \in$   $ \mbox{${\mathbb{R}}$}$$ \} $

成分で書く方法もある。

$\displaystyle \frac{x-w_1}{v_1}=\frac{y-w_2}{v_2}=\frac{z-w_3}{v_3}.
$

3次元空間の平面の表現法。 $ \{t \mathbbm a + u \mathbbm b +\mathbbm w; t, u \in$$ \mbox{${\mathbb{R}}$}$$ \} $

成分で書く方法もある。

$\displaystyle c_1 (x-w_1)+c_2(y-w_2)+c_3(z-w_3)=0.
$

内積でかく手もある。

2次元平面での直線の書き方も上に準ずるのであった。

三次元計量ベクトル空間には「外積」という概念もある。 分野によっては大事であるのでここで定義を押さえておこう。

定義 11.1   3次元計量ベクトル空間 $ V$ には次のような性質をもつ「外積」が存在する。
  1. 双線形性(2重線形性)
  2. 反対称(交代的) $ \mathbbm a \times \mathbbm b=$ $ -\mathbbm b \times \mathbbm a$
  3. $ \mathbbm a \times \mathbbm b$ $ \mathbbm a$ $ \mathbbm b$ と 直交し、長さは2つのベクトルの長さの積 $ \vert\mathbbm a\vert \vert\mathbbm b\vert$ である。
  4. (向き付けとの関係) 向き付との関係は大事であるが、 (xyz座標系をどのように描くかなど) 使用する時々によって若干違ってくる。ここでは、標準となる正規直交系 $ \mathbbm e_1,\mathbbm e_2, \mathbbm e_3$ がすでに決まっていて、 $ \mathbbm e_1 \times \mathbbm e_2 = \mathbbm e_3$ を満たしている、という形で述べるにとどめておく。



2017-07-26