環論要約 No.1

この講義の前半では、次の定理の証明を目標とする。

定理 1.1 (環の準同型定理)   $ R$ から別の環 $ S$ への準同型写像 $ \phi:R\to S$ が与えられたとする。 このとき、次が成り立つ。
  1. $ \phi$ の像 $ \operatorname{Image}\phi$$ S$ の部分環である。
  2. $ \phi$ の核 $ I=\operatorname{Ker}\phi$$ R$ のイデアルである。
  3. 剰余環 $ R/I$ $ \operatorname{Image}\phi$ と同型である。

後半では、環や体の実例、とくに「一次元の環」 について詳しく扱う。

\fbox{今日のテーマ} 《環の定義・部分環の定義》

環とは、足し算、引き算と掛け算ができる集合のことである。

部分環とは、部分集合であって環になっているもののことである。

定義 1.1 (環の定義)   集合 $ R$であるとは、足し算と呼ばれる写像

$\displaystyle +: R\times R \to R
$

と掛け算と呼ばれる写像

$\displaystyle \times :R\times R \to R
$

が定義されていて次の性質を満たす時に言う。
  1. $ R$ は足し算に関して可換群をなす。
  2. $ R$ の積は結合法則を満たす。
  3. $ R$ の足し算と掛け算は分配法則を満たす。すなわち、任意の $ a,b,c \in R$ に対して、次のことが成り立つ。

    % latex2html id marker 1041
$\displaystyle (a+b)\times c=a\times c+b\times c,\quad c\times (a+b)=c\times a+c\times b
$

  4. $ R$ は積に関して単位元を持つ。すなわち、ある $ u\in R$ が存在して、 すべての $ x\in R$ に対して、 $ xu=x$ かつ $ ux=x$ が成り立つ。

(群論で習ったように、 条件(1)は言い換えれば、「$ R$ の元は足し算、引き算がその中でできる」 という意味である。

野球の選手を集めて野球チームをつくるように、 数を集めて環を作ることができる。 環を扱う諸君はさながらチームの監督である。 「数」や「多項式」は歴史的な名プレーヤーである。 これらについては普通の和、積については結合法則や分配法則等が自動的に なりたっていることが多いのでそこはクドクド言う必要はない。

まずは「名門」チームの幾つかを知っておくべきであろう:

1.1   次のものは通常の足し算、掛け算によって環になる。
  1. (重要)整数全体のなす集合 $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$.
  2. 有理数全体のなす集合 $ \mbox{${\mathbb{Q}}$}$.
  3. 実数全体のなす集合 $ \mbox{${\mathbb{R}}$}$.
  4. 複素数全体のなす集合 $ {\mathbb{C}}$.
  5. 実数を成分として持つ2次の正方行列全体のなす集合 $ M_2($$ \mbox{${\mathbb{R}}$}$$ )$.
  6. (重要)実数上の一変数多項式全体のなす集合 $ \mbox{${\mathbb{R}}$}$$ [X]$.

補題 1.1   任意の環 $ R$ に対して、次のことがなりたつ。
  1. $ R$ の和に関する単位元は、ただ一つである。
  2. $ R$ の積に関する単位元は、ただ一つである。

証明. (1) については、群論で学んだはずである。(ただし、(2)と同様の証明も 可能である。)

(2) $ R$ の単位元が(見掛け上)二つあったとして、それらを $ u,v$ とおくと

$\displaystyle u \underset{(\text{$v$ は単位元})} {=} u v \underset{(\text{$u$ は単位元})}{=} v
$

すなわち、両者は実は等しい。 % latex2html id marker 1087
$ \qedsymbol$

今後、環 $ R$ の和に関する単位元を 0 (時には $ 0_R$)と書き、$ R$零元 と呼ぶ。 また、環 $ R$ の積に関する単位元を $ 1$ (時には $ 1_R$)と書き、 単に 「$ R$単位元」と言ったときにはこの $ 1$ のことをさす。

環の零元と、単位元は、野球の投手と捕手と言ったところか。

ときには、チームの中の一部分が、 「特別遠征チーム」として戦わねばならないときもある:

定義 1.2 (部分環の定義)   $ R$ が単位元をもつ環であるとする。$ R$ の部分集合 $ S$$ R$ の部分環であるとは、$ S$ が次の条件を満たす時にいう。
  1. $ S$$ R$ の足し算、かけ算を流用することにより環になっている。
  2. $ S$$ R$ の単位元を元として含む。

1.2   次のものは複素数全体のなす環 $ {\mathbb{C}}$ の部分環である。
  1. 整数全体の集合 $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$.
  2. 有理数全体の集合 $ \mbox{${\mathbb{Q}}$}$.
  3. 実数全体の集合 $ \mbox{${\mathbb{R}}$}$.

数や行列などの、見知ったもの(名選手)を集めた集合 $ S$ を作ったとする。 それが環になるか否かの判定に重要なのは、 $ S$ には必要なメンバーが揃っているか、ということである。 つまり $ R$ のなかの元を足したり、引いたり、掛けたりしたときに $ R$ のなかからはみ出す、ということがあってはならない。 そこだけ押さえれば 名選手たちなら最小限のことはしてくれる。

1.3   つぎのものは(通常の和、積について)環ではない。
  1. $ \{0,1\}$.
  2. 0 以上の整数の集合 $ \mathbb{N}$.
  3. (正のものも負のものもふくめた)すべての奇数の集合 $ 2 {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}+1$.
  4. 虚部が整数であるような複素数の全体 $ \mbox{${\mathbb{R}}$}$% latex2html id marker 1170
$ +\sqrt{-1} {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$.

問題 1.1   $ \frac{1}{2}$ の整数倍をすべて集めた集合

$\displaystyle \frac{1}{2}{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}=\{\frac{n}{2}; n\in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\}
$

は(通常の和、積について)環ではないことを示しなさい。