線形代数学II No.1要約

今日のテーマ: 授業の目標, ベクトル空間及び線形写像の復習。

「スカラー」の集合を一つ決めておかなければならない。

定義 1.1   $ K$であるとは、$ K$ が和、差、積、商について 閉じた集合であるときにいう。 詳しくいうと $ K$ が体であるとは、 $ K$ が和(+)、積2つの演算について閉じていて、以下の条件を満たすときに言う。 詳しくは体論でやる。

  1. $ K$ は和について可換群である。 すなわち
    1. 和は結合的である。 $ (a+b)+c=a+(b+c)$ $ (\forall a,b,c\in K)$.
    2. $ K$ には $ 0_K$ と呼ばれる特別の元があって、 $ x+0_K=x=0_K+x$ $ (\forall x \in K)$ がなりたつ。
    3. $ K$ の任意の元 $ x$ に対して、その反元 $ -x$ と呼ばれる元が 存在して、 $ x+(-x)=0_K=(-x)+x$ を満たす。

  2. $ K$ は積について可換半群である。つまり、 結合法則 $ a(bc)=(ab)c$ ( $ \forall a,b,c\in K)$ がなりたつ。
  3. 分配法則 $ a(b+c)=ab+ac$, $ (b+c)a=ba + ca$ ( $ a,b,c\in K)$ が成り立つ。
  4. $ K\setminus \{0\}$ は積について群である。 つまり
    1. $ K$ には $ 1_K$ と呼ばれる特別の元があって、 $ x \cdot 1_K=x=1_K\cdot x$ $ (\forall x \in K)$ がなりたつ。
    2. $ K$ の任意の元 $ x$ に対して、その逆元 $ x^{-1}$ と呼ばれる元が 存在して、 $ x\cdot (x^{-1})=1_K=(x^{-1})\cdot x$ を満たす。

$ K$ としては $ \mbox{${\mathbb{R}}$}$ をよく用いるが、 $ K={\mathbb{C}}$ の場合を考えることも時には必要である。

$ K=$$ \mbox{${\mathbb{R}}$}$ としたときのベクトル空間を $ \mbox{${\mathbb{R}}$}$ 上のベクトル空間とか、 実ベクトル空間といい、 $ K={\mathbb{C}}$ としたときのベクトル空間を $ {\mathbb{C}}$ 上のベクトル空間とか、複素ベクトル空間と呼ぶ。

ベクトル空間とは、その中で和とスカラー倍ができるような集合のことである。

  1. $ (\mathbbm v_1+\mathbbm v_2)+v_3=\mathbbm v_1 +(\mathbbm v_2+\mathbbm v_3)$.
  2. $ v_1+v_2=v_2+v_1$.
  3. $ \exists 0_V$ such that $ 0_V+\mathbbm v=\mathbbm v+ 0_V=\mathbbm v$.
  4. 任意の $ \mathbbm v \in V$ にたいして $ -\mathbbm v$ という $ V$ の元が取れて $ \mathbbm v+(-\mathbbm v)= 0_V$ を満たす。
  5. $ c_1. (c_2. \mathbbm v)= (c_1\cdot c_2 ).\mathbbm v$.
  6. $ 1_K.\mathbbm v=\mathbbm v$ $ (\forall\mathbbm v \in V)$

ベクトル空間 $ V,W$ にたいして、$ V$ から $ W$ への線形写像とは、 $ V$ から $ W$ の写像であって、和とスカラー倍を保つもののことである。

$ V$,$ W$ の基底をとることで、線形写像は行列で表せるのであった。 行列としては何でもありうるわけだが、 基底のとり方を上手に選べば、簡単な行列を扱うだけで済むようにできる 場合がある。

とくに、$ V=W$ の場合が本講義の主題である。 この場合には、 $ \mathbbm v$ $ A\mathbbm v$ とを比較できるということが一般の場合と異なる。

一番基本的なのは対角行列である。

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$\displaystyle \begin{pmatrix}
a & 0 \\
0 & b
\end{...
...& 0 & 0 & 0 \\
0 & b & 0 & 0\\
0 & 0 & c & 0 \\
0 & 0 & 0 & d
\end{pmatrix}$

これらは 基本ベクトルたちをその定数倍に写す という大事な性質を持つ。

本講義では、次のようなことについて学ぶ: