線形代数学II No.15

例題 15.1  

$$\mathbbm v_1= \begin{pmatrix} 1 \\ 1 ... ... \end{pmatrix}, \quad \mathbbm v_3= \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$$

とおく。

1. $\mathbbm v_2+$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$\mathbbm v_1$ の元で $\mathbbm v_1$ と 直交するものをすべて求めなさい。 そのうちの一つを $\mathbbm w_2$ とおく。

2. $\mathbbm v_3+$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$\mathbbm v_2+$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$\mathbbm v_1$ の元で $\mathbbm v_1,\mathbbm v_2$ の２つと 直交するものをすべて求めなさい。 そのうちの一つを $\mathbbm w_3$ とおく。
3. $\mathbbm v_1, \mathbbm w_2, \mathbbm w_3$ のそれぞれを適当な 定数倍して $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^3$ の正規直交基底を作りなさい。

例題 15.2  

$$A= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 2 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$$

とおく。

1. $A$ の固有値をすべて求めなさい。
2. $A$ の各固有値に属する固有ベクトル空間をそれぞれ求めなさい。
3. $A$ を対角化しなさい。
4. $A$ を直交行列を用いて対角化しなさい。

15.1

(1)

$$\mathbbm w_2= \mathbbm v_2 -2 \mathbbm v_1 = \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$$

(2)

$$\mathbbm w_3 =\mathbbm v_3 -\frac{1}{3}\mathbbm v_1 - \frac{1}{2}... ...rix}= \begin{pmatrix} \frac{1}{6} \\ -\frac{1}{3} \\ \frac{1}{6} \end{pmatrix}$$

(3)

$$\frac{1}{\sqrt{3}} \begin{pmatrix} 1 ... ... 1 \end{pmatrix}, \frac{1}{\sqrt{6}} \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}$$

15.2.

(1) $A$ の固有値は $-3,2,2$.

(2) $A$ の $-3$ に対する固有ベクトル空間は $\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}$.

$A$ の $2$ に対する固有ベクトル空間は ${\mathbb{C}}\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}+ {\mathbb{C}} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}.$

(3)

$$P= \begin{pmatrix} -1 & 2 & 0 \\ 2 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

で、

$$P^{-1} AP={\operatorname{diagonal}}(-3,2,2).$$

(4)

$$U= \begin{pmatrix} \frac{-1}{\sqrt{5}... ... & 0 \\ \frac{2}{\sqrt{5}} & \frac{1}{\sqrt{5}} & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

で、

$$U^{-1} AU={\operatorname{diagonal}}(-3,2,2).$$