体論 No.13練習問題

$\alpha=\sqrt[3]{11}$, $\omega=\dfrac{-1+\sqrt{-3}}{2}$ とおくとき、

1. $X^3-11$ は $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ 上既約だろうか?
2. $\alpha$ の $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ 上の共役をすべて求めなさい。
3. $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$(\alpha)$, $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$(\omega)$ のそれぞれは $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ のガロア拡大であるか、 理由をつけて述べなさい。
4. $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$(\alpha,\omega)$ は $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ 上のガロア拡大だろうか?
5. $[$$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$(\alpha,\omega):$$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$]$ を求めなさい。
6. $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$(\alpha+\omega)=$$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$(\alpha,\omega)$ であることを示しなさい。

[解答]

(1) $f(X)$ は $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ 上既約である。 これを証明しよう。背理法で $f$ が $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ 可約だとする。 命題5.1(ガウスの補題) により ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ 上でも可約である。 $f$ は $3$ 次だから $1$ 次の ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ 係数の因数を持つことになる。 命題5.4により $X^3-11$ の因数はモニック。ゆえに、$f(a)=0$ なる 整数 $a$ が存在することになる。 ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\ni x \mapsto x^3 \in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ は単調増加 かつ、 $0^3=0 < 11 <27=3^3$ により、 $0<a<3$. つまり $a=1$ or $2$ であるが、 これらは $f(a)=0$ を満たさないから矛盾。

[別解] $f$ が ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ 上で可約ならば、 ${\mathbb{F}}_{7}$ 上でも可約なはず。 すなわち $X^3-11$ は ${\mathbb{F}}_{7}$ 上で根を持つことになる。ところが $\{a^3; a\in {\mathbb{F}}_7\}=\{0,1,-1\} \not\ni 11(=4)$ (in ${\mathbb{F}}_7$.) ゆえ、矛盾。

(2)

$$X^3-11=(X-\alpha)(X-\alpha\omega)(X-\alpha \omega^2)$$

かつ、$X^3-11$ は $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ 上既約であるから、 $\alpha,\alpha\omega,\alpha\omega^2$ が $\alpha$ の $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ 上の共役である。

(3) $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$(\alpha) \subset$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ かつ $\alpha \omega\notin$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ により、 $\alpha$ の共役の一つ $\alpha \omega$ は $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$(\alpha)$ に含まれない。 ゆえに、 $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$(\alpha)$ は $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ の正規拡大ではない。もちろん、ガロア拡大でもない。

$\omega$ の $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ 上の最小多項式は $X^2+X+1=(X-\omega)(X-\omega^2)$ であるから、 $\omega$ の $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ 上の共役は $\omega,\omega^2$ の二つ。 これらは $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$(\omega)$ に含まれるから、 $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$(\omega)$ は $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ 上の正規拡大である。 $\omega\neq \omega^2$ だから $\omega$ は $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ 上分離的でもある。 ゆえに、 $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$(\omega)$ は $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ のガロア拡大である。

(4)

(3)と同様の考察により、 $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$(\alpha,\omega)$ は $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ のガロア拡大である ことがわかる。

(5)

$$[$$$$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$$$(\alpha,\omega):$$$$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$$$] =[$$$$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$$$(\alpha,\omega):$$$$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$$$(\alpha)] [$$$$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$$$(\alpha):$$$$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$$$] =3[$$$$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$$$(\alpha,\omega):$$$$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$$$(\alpha)].$$

$\omega \in$   $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$(\alpha)$ か否かによって、 $[$$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$(\alpha,\omega):$$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$(\alpha)]$ は $2$ か $1$ かのいづれかである。他方、

$$[$$$$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$$$(\alpha,\omega):$$$$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$$$] =[$$$$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$$$(\alpha,\omega):$$$$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$$$(\omega)] [$$$$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$$$(\omega):$$$$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$$$] =2[$$$$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$$$(\alpha,\omega):$$$$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$$$(\omega)].$$

ゆえ、 $[$$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$(\alpha,\omega):$$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$]$ は $2$ の倍数でなければならない。 ゆえに、 $[$$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$(\alpha,\omega):$$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$]=6$.

(もしくは: $\omega\notin$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ かつ $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$(\alpha) \subset$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ ゆえ $\omega\notin$   $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$(\alpha)$. よって、 $[$$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$(\alpha,\omega):$$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$(\alpha)]=2$. とやってもよい。 )

(6) $L=$$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$(\alpha,\omega)$ とおこう。 $L$ の元は必ず

$$1,\alpha,\alpha^2, \omega,\alpha\omega,\alpha^2\omega$$ (B)

の線形結合で書けることがすぐに分かる。 (5)により、これら $6$つの元は一次独立でなければならない。 すなわち、これら $6$ つの元は $L$ の $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ 上のベクトル空間としての基底である。 $\operatorname{Gal}(L/$$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$)$ の元は $\alpha$ の行き先( $\alpha,\alpha\omega,\alpha\omega^2$ の 3とおり)と $\omega,\omega^2$ の行き先(2とおり) の都合 $6$ 通りで定まる。(命題9.4 により、これら $6$つの可能性はすべて ガロア群の元として実現されねばならない。)

ガロア群の元 $\sigma$ が $\alpha+\omega$ を動かさないとすると、

$$\sigma(\alpha)+\sigma(\omega)=\alpha+\omega.$$

ただし、

$$\sigma(\alpha)= \alpha$$    or $$\alpha\omega$$    or $$\alpha\omega^2.$$

$$\sigma(\omega)= \omega$$    or $$\omega^2.$$

$(B)$ の6つの元が一次独立なことから、必然的に $\sigma(\alpha)=\alpha$ かつ $\sigma(\omega)=\omega$ がわかる。すなわち、 $\sigma={\operatorname{id}}$. よって、 $M=$$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$(\alpha+\omega)$ にガロア対応で対応する $\operatorname{Gal}(L/$$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$)$ の 部分群( $M$ の固定群) は $\{{\operatorname{id}}\}$ で、 これは $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$(\alpha,\omega)$ の固定群と等しい。 ガロア対応が全単射的であること(ガロア理論の基本定理)から、

   $$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$$$(\alpha+\omega)=$$$$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$$$(\alpha,\omega).$$