Zorn の補題

このページは Wikipediaの Zorn の補題の項(2017/10/25閲覧)のコピペを、 若干記号等を好みに応じて変更したものである。

定理 0.1   順序集合 $\mathcal S$ があるとする。もし $\mathcal S$ の任意の鎖が $\mathcal S$ 内に上界を持つとすると、 $\mathcal S$ は極大元を持つ。

Zornの補題を使って、次のことを示せる:

補題 0.2   環 $R$ とそのイデアル $I_0$ で、 $R \supsetneq I_0$ を満たすものがあったとする。 このとき、$I_0$ を含む $R$ の極大イデアルが存在する。 とくに、$\{0\}$ でない環 $R$ は極大イデアルを持つ。

Proof. Zorn の補題で

$$\mathcal S= \{$$$I_0$ を含む $R$ の(両側)イデアルのうち $R$ 自身以外からなるもの$$\}$$

を考える。 $\mathcal S$ は $I_0$を含むので空ではない。 $\mathcal S$ は包含関係により半順序集合である。 $R$ の極大イデアルを見つけることは $\mathcal S$ の極大元を見つけることと同じである。

Zornの補題を適用するために、 $\mathcal S$ の空でない全順序部分集合 $\mathcal \mathcal T$ をとる。 $\mathcal T$ に上界が存在することを示す必要がある。 つまり、イデアル $I\subset R$ が存在して、 それは $\mathcal T$ のどの要素より以上であり、 しかも $R$ よりは厳密に小さいことを示す必要がある。 $I$ を $\mathcal T$ の全てのイデアルの和集合とする。 $\mathcal T$ は少なくともひとつ元を持ち、 それは $I_0$ を含んでいるので、和集合 $I$ も $I_0$ を含み、 とくに空集合ではない。 $I$ がイデアルであることを示すため、$a$ と $b$ を $I$ の元とすると、 ふたつのイデアル $J, K \in \mathcal T$ が存在し、 $a \in J$ であり、$b \in K$ ある。 $\mathcal T$ は全順序であったので、 $J \subset K$ または $K \subset J$ である。 前者の場合は、$a$ も $b$ もともに $K$ の元であり、 和 $a + b$ も $K$ の元である。 よって、$a + b$ は $I$ の元である。 後者の場合は、$a$ も $b$ もともに $J$ の元であるから、 同様に $a + b$ は $I$ の元である。さらに、任意の $r \in R$ に対して、 $ar$ と $ra$ は $J$ の元であるから、$I$ の元でもある。 以上により、$I$ は $R$ のイデアルであることが分かった。

そして、イデアルが $R$ と一致することは $1$ を含むことと同値である。 そこで、$I$ が $R$ に等しいと仮定すると、それは $1$ を含み、 $\mathcal T$ のある要素が $1$ を含むことになり、それは $R$ と一致する。 しかし、これは $\mathcal S$ から $R$ を除いていたことに矛盾する。

Zornの補題の条件は確認できたので、 $\mathcal S$ には極大元が存在する。 言い換えると、$R$ には極大イデアルが存在する。 $\qedsymbol$

上のように、Zorn の補題の適用時には、 ある一つの集合の部分集合の全体あるいは一部(この場合は全体とは異なるイデアル) を使用することも多い。

Zorn の補題の証明の概略。

以下では $s_0 \in S$ を固定し、補題の後半部分を証明する。

$$\mathcal A=\{$$   $s_0$ を元として含むような $S$ の鎖$$\}$$

とおく。 $\mathcal A$ は包含関係に関して順序集合をなす。

1. $\mathcal A \ni \{s_0\}$ よって $\mathcal A$ は空ではない。
2. $\mathcal A$ の任意の鎖 $\mathcal T$ は上限(=最小上界)を持つ。

さて、 $\mathcal A$ の任意の元 $T$ をとってくる。 $T$ は $S$ の鎖であるから、仮定により $S$ 内に上界 $a_T$ を持つ。 $a_T$ が $S$ の極大元ならば話は終わりであるから、 $a_T$ は極大ではないとしてよい。したがって、 ある $b_T \in S$ が存在して、$b_T$ は $T$ のどの元よりも大きい。 そこで、おのおのの $T \in \mathcal A$ に対してそのような $b_T$ を選び、写像 $f:\mathcal A \to \mathcal A$ を

$$f(T)=T\cup \{ b_T\}$$

で定義する。

(3) $f$ は $\mathcal A$ から $\mathcal A$ への増加写像である。

今の場合、 $f$ は狭義増加者像であるから、次の Bourbakiの補題に反する。

Bourbaki の補題の証明の概略。

$M\subset A$ が $f$-認容であるというのを

1. $f(M)\subset M$
2. $M$ の任意の鎖 $T$ に対して、 $\sup(T)\in M$

で定義する。

$M=\langle a_0 \rangle$ を,「$a_0$ をふくむ $f$-認容な $A$ の部分集合のうち 最小のもの」として定義する。$M$ は $a_0$ を含む $f$-認容な $A$ の部分集合の 全体の共通部分であり、「$f,\sup$ を作用として $a_0$ で生成されたような集合」 と思っても差し支えない。 この証明の核心はつぎのことである。

これがわかると、$M$ 自体が上限 $m_0$ をもち、 $M$ の $f$-認容性から $m_0 \in M$ である。 $f$ の増加性から $f(m_0)=m_0$ すなわち Bourbaki の補題の $x_0$ としては $m_0=\sup(\langle a_0 \rangle )$ を取れば良いことがわかるという寸法である。

では「核心」の証明はというと、以下 CM ...じゃなくて次ページ。

1. $M\ni c$ が extreme ${\Leftrightarrow}$ $\forall x \in M (x<c\implies f(x)\leq c$ で、「extreme な元」を定義する。
2. extreme な元 $c$ に対して、 $M_c=\{x \in M ;\vert x\leq c$    or $f(c) \leq x\}$ と定義すると、$M_c$ 自身も $f$-認容なことがわかり、したがって $M=M_c$.
3. $M_{\text{extreme}}=\{c \in M\vert \text{$c$\ は extreme}\}$ と定義すると、 これもまたもや $f$-認容であることがわかって、 $M=M_{\text{extreme}}$
4. (3)のことから、直ちに $M$ は全順序集合であることがわかる。

という具合。詳しくは成書をご覧いただきたい。

この稿では

S. Lang Real and functional analysis third edition (GTM)

を参考にした。