理工系線形代数学 No.5要約

今日のテーマ:逆行列

行の数と列の数が同じ行列のことを正方行列というのでした。

定義 5.1   $ n$ 次正方行列 $ A$ が与えられているとする。 $ n$ 次正方行列 $ X$ が、

$\displaystyle AX=1_n = XA
$

をみたすとき、$ X$ のことを $ A$ の逆行列という。

命題 5.2  
  1. 正方行列 $ A$ の逆行列は存在するとは限らない。
  2. $ A$ の逆行列が存在する場合には、$ A$ の逆行列はただひとつである。

定義 5.3   行列 $ A$ の逆行列が存在するとき、$ A$ は正則行列であるといい、 その逆行列のことを $ A^{-1}$ と書く。

◎ 2次行列の逆行列

命題 5.4   2次正方行列 $ A=
\begin{bmatrix}
a & b \\
c & d
\end{bmatrix}$ が正則であるための必要十分条件は、 % latex2html id marker 808
$ ad -b c\neq 0$ である。

% latex2html id marker 810
$ ad -bc \neq 0$ のとき、 $ \Delta=ad-bc$ と書くと、$ A$ の逆行列は

$\displaystyle \frac{1}{\Delta}
\begin{bmatrix}
d & -b \\
-c & a
\end{bmatrix}$

で与えられる。 (前の $ \frac{1}{\Delta}$ の部分も忘れてはならないが、 後ろの部分は “主対角線は入れ替えて、あとはマイナス、マイナス” と覚えよう。)

二次行列に限らず、一般のサイズの正方行列 $ A$ が逆行列を持つならば、 一次方程式

$\displaystyle A \mathbbm{x}= \mathbbm{b}
$

$ A^{-1}$ を用いれば簡単に解けて、その一意的な解は

$\displaystyle \mathbbm{x}= A^{-1} \mathbbm{b}
$

で与えられる。

逆行列をもとめるのは、一次方程式をたくさん解くのと同じことである:

命題 5.5   $ n$ 次正方行列 $ A$ が与えられたとする。 $ \mathbbm{e}_1,\dots \mathbbm{e}_n$ を基本ベクトルとする。このとき、
  1. $ n$ 個のベクトル $ \mathbbm {x}_1, \dots ,\mathbbm x_n$ がそれぞれ 方程式

    % latex2html id marker 843
$\displaystyle A \mathbbm {x}_1= \mathbbm {e}_1, \qu...
...\mathbbm {e}_3, \quad
\dots, \quad
A \mathbbm {x}_n= \mathbbm {e}_n
\tag{★}$

    を満たしたとする。このとき、 $ X=[\mathbbm x_1 \dots \mathbbm x_n]$$ A X=1_n$ を満たす。
  2. 逆に、$ A X=1_n$ を満たす $ n$次正方行列 $ X$ が 与えられれば、その列ベクトルは方程式 (★)を満たす。

この命題では $ A X=1_n$ のみに言及している。逆の積 $ XA$ がどうなるかについては どうしてもちょっとした議論が必要になる。