理工系線形代数学 No.8要約

今日のテーマ :行列式 (3) 余因子と逆行列

命題 8.1   (クラーメルの公式). 任意の $n$ 次正方行列 $A$ を $A= \begin{bmatrix} \mathbbm a_1 &\mathbbm a_2 \dots & \mathbbm a_n \end{bmatrix}$ とブロック分割する。$A$ の行列式 $\operatorname{det}(A)$ を、 以下では $\Delta$ と書くことにする。 いま、 $n$ 次元縦ベクトル $\mathbbm x$ を

$$\mathbbm x= \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix}$$

で与える。このとき、 $A \mathbbm x=\mathbbm b$ ならば、

$$\operatorname{det}(A \rfloor_i \mathbbm b) = x_i \cdot \Delta$$

とくに、

1. $\mathbbm b$ がはじめに与えられて、 $\Delta=\operatorname{det}(A)\neq 0$ ならば、 $A \mathbbm x=\mathbbm b$ の解は
   $$x_i=\frac{\operatorname{det}(A\rfloor_i \mathbbm b)}{\Delta} \qquad(i=1,2,\dots,n)$$
   で定まる成分を持つ縦ベクトルである。
2. $k=1,2,\dots, n$ にたいして、
   $$\mathbbm x_k = \begin{bmatrix} {\operatorname{det}(A\rfloor_1 \ma... ...{} \\ \vdots \\ {\operatorname{det}(A\rfloor_n \mathbbm e_k)}{} \end{bmatrix}$$
   とおく。( $\mathbbm e_k$ は $k$ 番目の基本ベクトル)。 すると、 $A \mathbbm x_k=\Delta \cdot \mathbbm e_k$ である。
3. (2)の $\mathbbm x_k$ をならべて
   $$A[\mathbbm x_1 \mathbbm x_2 \dots \mathbbm x_n]= \Delta \cdot E_n$$
   を得る。
4. (2)の $\mathbbm x_k$ にたいして、 $[\mathbbm x_1 \mathbbm x_2 \dots \mathbbm x_n]$ は $A$ の余因子行列と等しい。

行列の逆行列の行列式による表示、クラーメルの公式は、 計算量的にはいまいちである。が、次のような利点がある。 (クラーメルの公式でも同じなので逆行列についてのみ述べる。)

1. $A$ の逆行列は $\operatorname{det}(A) \neq 0$ である限り $A$ について 連続的に動く。

2. $A$ の逆行列の各成分は、$A$ の成分の和、差、積を適当にとったあと、 $\operatorname{det}(A)$ で割ることで得られる。(それ以外の演算は必要ない)

命題 8.2   $\operatorname{det}(AB) = \operatorname{det}(A) \operatorname{det}(B)$ が任意の $A,B \in M_n($$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$)$ に対して 成り立つ。