理工系線形代数学例題

言うまでもないことだが、数値的な答だけでは十分ではない。論理的な説明がもっと大事である。

例題 15.1 $x,y,z,w$

$x,y,z,w$

は実数であるとする。

$\displaystyle \begin{bmatrix} 1 & -2 & 3 & 4 \\ 5 & 6 & -7 & 8 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & x \\ 1 & y \\ 1 & z \\ 1 & w \end{bmatrix}$

を正しく計算せよ。

例題 15.2

$\displaystyle A= \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 9 \\ 0 & 1 & 5 & 6 & -10 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 11 \end{bmatrix}$

に対して、

$\operatorname{Ker}(A)$ をもとめよ。
$\operatorname{Image}(A)$ を求めよ。
に対する次元定理を、 $\dim \operatorname{Ker}(A)$ 等がこの場合にはどのような値になるかをきちんと当てはめて、書け。

例題 15.3 $a,b$

$a,b$

は実数とする。

$\displaystyle B= \begin{bmatrix} 7 & a & b \\ 0 & -2 & 2 \\ 0 & 5 & 1 \end{bmatrix}$

とおく。

の固有値をすべて求めよ。
の各固有値に属する固有ベクトルをそれぞれ求めよ。
を対角化せよ。

15.1

$\displaystyle \begin{bmatrix} 6 & x - 2 y +3 z + 4 w \\ 12 & 5 x +6 y -7 z + 8 w \end{bmatrix}$

15.2

(1)

$\displaystyle \operatorname{Ker}(A)= \left\{ t \begin{bmatrix} 7 \\ -5 \\ 1 \... ...\ 76 \\ 0 \\ -11 \\ 1 \end{bmatrix}; t,u\in\mbox{${\mathbb{R}}$} \right\}$

(2) $\operatorname{Image}(A)=$ $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ $^3$ .

(3)

$A:$ $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ $^5\to$ $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ $^3$

$\begin{equation*} \begin{alignedat}{6} \dim &(\mbox{${\mathbb{R}}$}^5)& && & -&\... ...eratorname{Image}(A)) \\ &5& & &&-& &2 &&=& & 3 \end{alignedat}\end{equation*}$

15.3.

(1) $B$ の固有値は $7,3,-4$ .

(2) $B$ の $7$ に対応する固有ベクトルは $\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}.$

$B$ の $3$ に対する固有ベクトルは $\begin{bmatrix} 2a+5b \\ -8 \\ -20 \end{bmatrix}$ .

$B$ の $-4$ に対応する固有ベクトルは $\begin{bmatrix} -a+b,\\ 11\\ -11 \end{bmatrix}$ .

(3)

$\displaystyle P= \begin{bmatrix} 1 &2 a +5b &-a+b \\ 0 & -8 & 11\\ 0& -20 & -11 \end{bmatrix}$

で、

$\displaystyle P^{-1} BP={\operatorname{diagonal}}(7,3,-4).$