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環論 No.5要約

\fbox{今日のテーマ} 《剰余環、素イデアル、極大イデアル》

前回までに、環 $R$ の、そのイデアル $I$ による剰余環について解説した。

$\displaystyle \bar{x}=\bar{y} {\Leftrightarrow} x-y \in I
$

なる判定法(定義)により $R$ にクラス分けが入ること、$R/I$ に加法、乗法が 代表元のとり方によらずに定まることがポイントであった。 たとえば ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/11 {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ において、

$\displaystyle \overline{153}\times \overline{493}
$

を計算するのに、 $\overline{153\times 493}$ を計算してもよいが、 $\overline{153}=\overline{-1}, \overline{493}=\overline{-2}$ と代表元を取り換えてから $\overline{-1}\times \overline{-2} $ とやっても良いわけである。

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次のことにも注意しておこう。

一般に、$R/I$ とは環 $R$$I$ の各元 $x$ に応じた関係式 $x=0$ を 新たに導入しててきた環であるということが結果的にわかる。例えば:

${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/n{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ のような剰余環の性質は、いままで知っていた数のものとは若干異なる。 そのことを説明するために、いくつかの言葉を用意しておく。

定義 5.1   可換環 $R$ の元 $x$$R$零因子であるとは、 $xy=0$ かつ % latex2html id marker 1073
$ y\neq 0$ をみたす $R$ の元 $y$ が存在するときに言う。

定義 5.2   可換環 $R$ があたえられたとする。
  1. $R$0 以外の零因子がないなら、 $R$整域であるという。
  2. $R$0 以外の元が $R$ で可逆であるとき、$R$であるという。

もちろん、体は必ず整域である。

定義 5.3   可換環 $R$ のイデアル $I$ (% latex2html id marker 1107
$ R\neq I$)について、
  1. $R/I$ が整域であるとき、$I$$R$ の素イデアルであるという。
  2. $R/I$ が体であるとき、$I$$R$ の極大イデアルであるという。

これらの名前の由来についてや、 さしあたって重要な 次の例についての証明などの詳しいことについては もっとあとのほうの講義で述べる。

5.1  
  1. ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ のイデアル $\{0\}$ ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ の素イデアルであるが、 極大イデアルではない。
  2. 素数 $p$ があたえられたとき、 ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ のイデアル $p {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ の極大イデアルである。
  3. 正の整数 $n$ が素数でないとき、 $n {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ のイデアルではあるが、 素イデアルではない。

定義 5.4   素数 $p$ が与えられたとき、 ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/p {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ は(上の例に述べたように)元の数が $p$ の体である。 この体を ${\mathbb{F}}_p$ と書く。