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環論 No.6要約

\fbox{今日のテーマ} 《準同型とその核と像》

定義 6.1  

$R,S$ はともに(可換とは限らない)環であるとし、$f:R\to S$ をその間の写像とする。 このとき、$f$$R$ から $S$ への(環)準同型写像であるとは、次の条件が成り立つ ときにいう。

  1. $f$$(R,+)$ から $(S,+)$ への群としての準同型である。すなわち、

    $\displaystyle f(a+b)=f(a)+f(b)
$

    が、すべての $R$ の元 $a,b$ について成り立つ。
  2. $f$$R$ の積を $S$ の積にうつす。すなわち、

    $\displaystyle f(ab)=f(a)f(b)
$

    が、すべての $R$ の元 $a,b$ について成り立つ。
  3. $f$ は($R$ の)単位元を($S$ の)単位元にうつす。すなわち、

    $\displaystyle f(1_R)=1_S
$

    が成り立つ。

定義 6.2   環のあいだの全単射準同型のことを、(環としての)同型とよぶ。 容易にわかるように、 環のあいだの同型 $f:R\to S$ が与えられたとき、 $f$ の逆写像 $f^{-1}$$S$ から $R$ への 同型になる。

群(加法群)についての準同型の知識を使うと、次のことは直ちにわかる。

補題 6.1   環準同型 $f:R\to S$ について、
  1. $f(0_R)=f(0_S)$ が成り立つ。
  2. $f(-a)=-f(a)$ が全ての $a\in R$ に対して成り立つ。

定義 6.3   環準同型 $f:R\to S$ について、 $f^{-1}(0)(=\{r\in R; f(r)=0\})$ のことを、 $f$核(Kernel)と呼び、 $\operatorname{Ker}(f)$ で書き表す。

$f$像(Image)とは、通常通り、

$\displaystyle \operatorname{Image}(f)=\{f(r); r\in R\}
$

のことである。

補題 6.2   任意の環準同型 $f:R\to S$ にたいして、
  1. $\operatorname{Ker}(f)$$R$ のイデアルである。
  2. $\operatorname{Image}(f)$$S$ の部分環である。

$R$ 上の一変数多項式環 $R[X]$ とは、 $R$ の元と、一つの変数 $X$ とで生成される 環であった。同様に $R[X_1,X_2,\dots,X_n]$ を定義することができる。 その出自から当然、次の補題が成り立つ

補題 6.3   任意の環 $R$ について、 $R[X][Y]\cong R[X,Y]
$ という自然な同型が存在する。 もっと一般に $R[X_1,X_2,\dots,X_n] \cong R[X_1,X_2,\dots,X_{n-1}][X_n]
$ がなりたつ。

命題 6.1 (代入原理)   $S$ とその部分環 $R$ が与えられているとする。 このとき、任意の $S$ の元の$n$ 個の組 $s=(s_1,s_2,\dots,s_n)$ にたいして、 次のような環準同型 $\psi_s[X_1,X_2,\dots,X_n] \to S$ が 唯一つ存在する。
  1. % latex2html id marker 1027
$ \psi(r)=r \qquad(\forall r\in R),$
  2. % latex2html id marker 1029
$ \psi(X_j)=s_j\qquad (j=1,2,3,\dots,n).$
さらに、$\psi$ は次のような形で与えられる。

$\displaystyle \psi(p)=p(s_1,s_2,\dots,s_n)
$

6.1   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$[X]$ から ${\mathbb{C}}$ への写像 $f$ を、

% latex2html id marker 1047
$\displaystyle f(p)=p(\sqrt{-1})
$

で定めると、次のことが分かる。
  1. $f$ は写像としてうまく定義されている。
  2. $f$ は環の準同型である。
  3. $f$ の像は ${\mathbb{C}}$ 全体である。
  4. $f$ の核は $(X^2+1)$$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$[X]$ である。