環論 No.8要約

\fbox{今日のテーマ} 《環の準同型定理(2)》

定理 8.1 (環の準同型定理)   環 $R$ から別の環 $S$ への準同型写像 $\phi:R\to S$ が与えられたとする。 このとき、次が成り立つ。
  1. $\phi$ の像 $\operatorname{image}\phi$$S$ の部分環である。
  2. $\phi$ の核 $I=\operatorname{Ker}\phi$$R$ のイデアルである。
  3. 剰余環 $R/I$ $\operatorname{image}\phi$ と同型である。

8.2   $f_2:$$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$[X]\to {\mathbb{C}}$ $f_2(p)=p(3)$ で定義する。 $f_2$ は環準同型であり、環の準同型定理により 環の同型

$\displaystyle \bar{f_2}:$   $\displaystyle \mbox{${\mathbb{Q}}$}$$\displaystyle [X]/(X-3)\cong$   $\displaystyle \mbox{${\mathbb{Q}}$}$

を誘導する。

8.3   $f_3:$$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$[X]\to {\mathbb{C}}$ % latex2html id marker 1083
$ f_3(p)=p(\sqrt{-1})$ で定義する。 $f_3$ は環準同型であり、環の準同型定理により 環の同型

$\displaystyle \bar{f_3}:$   $\displaystyle \mbox{${\mathbb{Q}}$}$$\displaystyle [X]/(X^2+1)\cong$   $\displaystyle \mbox{${\mathbb{Q}}$}$% latex2html id marker 1091
$\displaystyle [\sqrt{-1}]
$

を誘導する。

8.4   $f_4:$$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$[X]\to {\mathbb{C}}$ % latex2html id marker 1102
$ f_4(p)=p(\sqrt{-1})$ で定義する。 $f_4$ は環準同型であり、環の準同型定理により 環の同型

$\displaystyle \bar{f_4}:$   $\displaystyle \mbox{${\mathbb{R}}$}$$\displaystyle [X]/(X^2+1)\cong {\mathbb{C}}
$

を誘導する。

8.5   $f_5:$$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$[X]\to {\mathbb{C}}$ % latex2html id marker 1119
$ f_5(p)=p(\sqrt{2})$ で定義する。 $f_5$ は環準同型であり、環の準同型定理により 環の同型

$\displaystyle \bar{f_5}:$   $\displaystyle \mbox{${\mathbb{Q}}$}$$\displaystyle [X]/(X^2-2)\cong$   $\displaystyle \mbox{${\mathbb{Q}}$}$% latex2html id marker 1127
$\displaystyle [\sqrt{2}]
$

を誘導する。

8.6   $f_6:{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}[X]\to {\mathbb{C}}$ % latex2html id marker 1136
$ f_5(p)=p(\sqrt{2})$ で定義する。 $f_6$ は環準同型であり、環の準同型定理により 環の同型

% latex2html id marker 1140
$\displaystyle \bar{f_6}: {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}[X]/(X^2-2)\cong {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}[\sqrt{2}]
$

を誘導する。

8.7   $f_7:$$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$[X,Y]\to {\mathbb{C}}$ $f_7(p)=p(2,3)$ で定義する。 $f_7$ は環準同型であり、環の準同型定理により 環の同型

$\displaystyle \bar{f_7}:$   $\displaystyle \mbox{${\mathbb{Q}}$}$$\displaystyle [X,Y]/(X-2,Y-3)\cong$   $\displaystyle \mbox{${\mathbb{Q}}$}$

を誘導する。

8.8   $f_8:$$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$[X,Y]\to {\mathbb{C}}$ % latex2html id marker 1169
$ f_8(p)=p(\sqrt{2},\sqrt{3})$ で定義する。 $f_8$ は環準同型であり、環の準同型定理により 環の同型

$\displaystyle \bar{f_8}:$   $\displaystyle \mbox{${\mathbb{Q}}$}$$\displaystyle [X]/(X^2-2,Y^2-3)\cong$   $\displaystyle \mbox{${\mathbb{Q}}$}$% latex2html id marker 1177
$\displaystyle [\sqrt{2},\sqrt{3}]
$

を誘導する。

今回の例で、 $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$% latex2html id marker 1180
$ [\sqrt{-1}],({\mathbb{C}}),$$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$% latex2html id marker 1182
$ [\sqrt{2}],$$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$% latex2html id marker 1184
$ [\sqrt{2},\sqrt{3}]$ は体である。その意味で、例えば $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$% latex2html id marker 1187
$ [\sqrt{-1}]$ のことを「 $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$% latex2html id marker 1191
$ \sqrt{-1}$ を付け加えた体」とよび、 $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$% latex2html id marker 1194
$ (\sqrt{-1})$ と書いたりする。 これは体論において基本的な構成である。