環論 No.8要約

定理 8.1 (環の準同型定理) 環 $R$

から別の環

への準同型写像 $\phi:R\to S$ が与えられたとする。このとき、次が成り立つ。

$\phi$ の像 $\operatorname{image}\phi$ はの部分環である。
$\phi$ の核 $I=\operatorname{Ker}\phi$ はのイデアルである。
剰余環は $\operatorname{image}\phi$ と同型である。

例 8.2 $f_2:$

$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ $[X]\to {\mathbb{C}}$ を $f_2(p)=p(3)$

で定義する。

は環準同型であり、環の準同型定理により環の同型

$\displaystyle \bar{f_2}:$ $\displaystyle \mbox{${\mathbb{Q}}$}$ $\displaystyle [X]/(X-3)\cong$ $\displaystyle \mbox{${\mathbb{Q}}$}$

を誘導する。

例 8.3 $f_3:$

$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ $[X]\to {\mathbb{C}}$ を $% latex2html id marker 1083 $ f_3(p)=p(\sqrt{-1})$$ で定義する。 $f_3$

は環準同型であり、環の準同型定理により環の同型

$\displaystyle \bar{f_3}:$ $\displaystyle \mbox{${\mathbb{Q}}$}$ $\displaystyle [X]/(X^2+1)\cong$ $\displaystyle \mbox{${\mathbb{Q}}$}$ $% latex2html id marker 1091 $\displaystyle [\sqrt{-1}] $$

を誘導する。

例 8.4 $f_4:$

$\mbox{${\mathbb{R}}$}$ $[X]\to {\mathbb{C}}$ を $% latex2html id marker 1102 $ f_4(p)=p(\sqrt{-1})$$ で定義する。 $f_4$

は環準同型であり、環の準同型定理により環の同型

$\displaystyle \bar{f_4}:$ $\displaystyle \mbox{${\mathbb{R}}$}$ $\displaystyle [X]/(X^2+1)\cong {\mathbb{C}}$

を誘導する。

例 8.5 $f_5:$

$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ $[X]\to {\mathbb{C}}$ を $% latex2html id marker 1119 $ f_5(p)=p(\sqrt{2})$$ で定義する。 $f_5$

は環準同型であり、環の準同型定理により環の同型

$\displaystyle \bar{f_5}:$ $\displaystyle \mbox{${\mathbb{Q}}$}$ $\displaystyle [X]/(X^2-2)\cong$ $\displaystyle \mbox{${\mathbb{Q}}$}$ $% latex2html id marker 1127 $\displaystyle [\sqrt{2}] $$

を誘導する。

例 8.6 $f_6:{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}[X]\to {\mathbb{C}}$ を $% latex2html id marker 1136 $ f_5(p)=p(\sqrt{2})$$ で定義する。 $f_6$

は環準同型であり、環の準同型定理により環の同型

$% latex2html id marker 1140 $\displaystyle \bar{f_6}: {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}[X]/(X^2-2)\cong {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}[\sqrt{2}] $$

を誘導する。

例 8.7 $f_7:$

$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ $[X,Y]\to {\mathbb{C}}$ を $f_7(p)=p(2,3)$

で定義する。

は環準同型であり、環の準同型定理により環の同型

$\displaystyle \bar{f_7}:$ $\displaystyle \mbox{${\mathbb{Q}}$}$ $\displaystyle [X,Y]/(X-2,Y-3)\cong$ $\displaystyle \mbox{${\mathbb{Q}}$}$

を誘導する。

例 8.8 $f_8:$

$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ $[X,Y]\to {\mathbb{C}}$ を $% latex2html id marker 1169 $ f_8(p)=p(\sqrt{2},\sqrt{3})$$ で定義する。 $f_8$

は環準同型であり、環の準同型定理により環の同型

$\displaystyle \bar{f_8}:$ $\displaystyle \mbox{${\mathbb{Q}}$}$ $\displaystyle [X]/(X^2-2,Y^2-3)\cong$ $\displaystyle \mbox{${\mathbb{Q}}$}$ $% latex2html id marker 1177 $\displaystyle [\sqrt{2},\sqrt{3}] $$

を誘導する。

今回の例で、 $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ $% latex2html id marker 1180 $ [\sqrt{-1}],({\mathbb{C}}),$$ $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ $% latex2html id marker 1182 $ [\sqrt{2}],$$ $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ $% latex2html id marker 1184 $ [\sqrt{2},\sqrt{3}]$$ は体である。その意味で、例えば $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ $% latex2html id marker 1187 $ [\sqrt{-1}]$$ のことを「 $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ に $% latex2html id marker 1191 $ \sqrt{-1}$$ を付け加えた体」とよび、 $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ $% latex2html id marker 1194 $ (\sqrt{-1})$$ と書いたりする。これは体論において基本的な構成である。