理工系線形代数学 No.1要約

$\langle\!\langle$行列とはなにか $\rangle\!\rangle$

定義 1.1   $m,n$ を正の整数とする。 $m \times n$ 個の実数を

$\displaystyle A=
\begin{bmatrix}
a_{1 1} & a_{1 2 }& \dots& a_{1 n}\\
a_{2 1} ...
...m 2 }& \dots& a_{m n}
\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
a_{ij}
\end{bmatrix}_{ij}
$

と並べたものを $m,n$-行列という。

行と列を混乱しないように覚えるには、数学のノートを思い出せば良い。 1行目、2行目、3行目etc. が第1行、第2行、第3行etc である。

定義 1.2 (行列の和)   2つの $m,n$ 行列に対して、その和を、成分同士の和を成分とするように定義する。 つまり、 $A =[a_{ij}]_{ij}, B=[b_{ij}]_{ij}$ にたいして、 $A +B=[a_{ij} + b_{ij}]_{ij}$.

和は行列がおなじサイズのときのみ定義される。

定義 1.3 (行列のスカラー倍)   $m,n$ 行列 $A$ と、実数 $c$ に対して、$A$$c$$c A$ を 各成分の $c$ 倍を成分とするように定義する。 つまり、 $A =[a_{ij}]_{ij}$ にたいして、 $c A =[c a_{ij} ]_{ij}$.

定義 1.4   $A =[a_{ij}], B=[b_{kl}]$ のとき その積 $AB$

$\displaystyle \begin{bmatrix}
\sum_j
a_{ij} b_{jk}
\end{bmatrix}_{i k}
$

により与えられる。

サイズが合わないと積は定義されない。$A$$m,n$-行列, $B$$k,l$-行列のとき、 積 $AB$$n=k$ の場合のみ定義される。

問題 1.1   % latex2html id marker 838
$ a,b,c,p,q,r$ は実数とする。このとき

% latex2html id marker 840
$\displaystyle \begin{bmatrix}
a & b & c \\
1 & 2 &...
...ix}\begin{bmatrix}
1 &0 & p & 1 \\
0 &1 & q & 2 \\
0 &0 & r & 3
\end{bmatrix}$

を計算せよ。

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