微分積分学概論要約 No.2

第 2回目の主題 :

「 $\forall x ....$」 は、「どんな $x$ に対しても、 $....$ がなりたつ」という意味、

「 $\exists x ....$」 は、「なにかある一つの $x$ に対しては、 $....$ がなりたつ」という意味で用いる。

以下では実数 $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ は次の性質を持つことを認めることにする。

公理 2.1   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ の上に有界な部分集合は必ず上限を持つ。

実数の諸性質は、上の公理と四則演算、大小関係の公理に基づき すべて証明される。例えば、つぎのことが証明できる。

命題 2.2 (アルキメデスの原理)   $\mathbb{N}$ は上に有界ではない。

命題 2.3 (有理数の稠密性)   任意の異なる $2$ つの実数の間には有理数が存在する。

正の整数の全体のことをこの講義では ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}_{>0}$ と書く。 数列とは、数学的には次のように定義できる。

定義 2.4   実数列 $\{a_n\}_{n=1} ^\infty$ とは、 ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}_{>0}$ から $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ への写像 $n\mapsto a_n$ (すなわち、正の整数 $n$ に実数 $a_n$ を対応させる対応)のことである。

定義 2.5   実数列 $\{a_n\}_{n=1} ^\infty$ が実数 $c$ に収束するとは、

$$\forall \epsilon >0 \exists N$$    such that $$\quad (\forall n>N \quad \vert a_n -a\vert<\epsilon)$$

がなりたつときに言う。

この定義が使いこなせるようになれば、この講義の目標の 80% は 達せられたと言って良い。

例題 2.6   数列 $\{a_n \}$ を

$$a_n= \begin{cases} 1 & \text{$n$ が $10$ の倍数のとき}\\ 0 & \text{その他のとき}\\ \end{cases}$$

で定義するとき、 $\{a_n \}$ は何かある値に収束するだろうか。 定義に基づいて理由を述べて答えなさい。

解答   $\{a_n \}$ はどの値にも収束しない。

(証明) 背理法で、$\{a_n \}$ がある数 $c$ に収束したとする。 収束の定義の $\epsilon$ として $\frac{1}{2}$ を採用しよう。 ある $N_0$ が存在して、

$$n>N_0 \vert a_n-c\vert <\frac{1}{2}$$ (※)

が成り立つはずである。そこで

1. 上の $n$ として $N_0$ より大なる $10$ の倍数、たとえば、$n=10 N_0$をとると、
   $$\vert 1-c\vert<\frac{1}{2}$$
   がわかり、
2. 上の $n$ として $N_0$ より大なる数で、 $10$ の倍数でないもの、たとえば、 $n=10 N_0+1$をとると、
   $$\vert-c\vert<\frac{1}{2}$$
   がわかる。

上の (sample i,ii)をあわせると、

$$1=\vert 1-0\vert \leq \vert 1-c\vert+\vert c-0\vert<\frac{1}{2}+\frac{1}{2} =1$$

となって矛盾である。

よって、$\{a_n \}$ はいかなる値にも収束しない。

例題 2.7   数列 $\{a_n \}$ を

$$a_n= \begin{cases} 1/n & \text{$n$ が $10$ の倍数のとき}\\ 0 & \text{その他のとき}\\ \end{cases}$$

で定義するとき、 $a_n$ は何かある値に収束するだろうか。 定義に基づいて理由を述べて答えなさい。

解答   $\{a_n \}$ は 0 に収束する

(証明) 与えられた $\epsilon\in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$_{>0}$ にたいして、 $N_0$ として、 $1/\epsilon$ より大きい整数を一つとっておく。 (そのようなもの(すなわち与えられた実数よりも大きな整数) が存在することは、「アルキメデスの原理」として 保証されているが、マアさしあたっては当り前だと思っても良い。)

この $N_0$ が収束の定義の $N$ の役割を果たすことを示そう。 実際、 $n>N_0$ なる任意の $n$ にたいして、

1. $n$ が $10$ の倍数なら、
   $$\vert a_n-0\vert =\frac{1}{n}< \frac{1}{N_0}<\epsilon$$

2. $n$ が $10$ の倍数でないなら、
   $$\vert a_n-0\vert =0<\epsilon$$
   となって、いずれの場合にせよ $\vert a_n-0\vert<\epsilon$ が成り立つからである。

問題 2.1   数列 $\{a_n \}$ を

$$a_n=(-1)^n\frac{1}{n^2}$$

で定義するとき、 $\{a_n \}$ は何かある値に収束するだろうか。 定義に基づいて理由を述べて答えなさい。